Injection, Ker(f) et Im(f)

[inviteb892447d]

Bonjour, je suis actuellement en période de révision pour mon épreuve de math qui aura lieu lundi, mais j'éprouve quelques difficultés sur l'exercice suivant :

EXERCICE

Soit f l'application de R² dans R³ définie par :
f(x,y) = (x-2y, 2x + y, x-y)

1) Montrer que f est une application linéaire.
2) Montrer que f est injective.
3) Déterminer Ker (f) et Im(f)

Donc :

1) pas de problème

2)Je ne sais pas trop comment m'y prendre
j'ai commencé par :

Soit (x,y) e R² tel que f(x,y) = f(x',y')
(2x-y,x-2y,x-y) = (2x'-y',x'-2y',x'-y')

2x-y = 2x'-y'
x-2y = x'-2y'
x-y = x'-y'

Pour la suite, je n'ai pas compris la logique pour prouver que c'est injectif..

3)
f(x,y) = (2x-y,x-2y,x-y) = (0,0)

2x-y = 0
x-2y = 0
x-y = 0

2x-y = 0
-3y = 0
x-y = 0

x = 0
y = 0

j'ai trouvé ker(f) = {(0,0)} (mais je pense que c'est faux)

Pour Im(f)
(2x-y,x-2y,x-y) = x(1,2,1) + y(0,1,-1)
Im(f) = vect [(1,2,1), (0,1,-1)]


J'aimerai savoir si ce que j'ai fais est correcte, et je sollicite votre aide pour la question 2) et 3) s'il vous plaît, merci d'avance

cordialement
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[invite6cc88f91]

Bonjour,

Il y a plusieurs manière de s'y prendre...

pour la 2°), montrer qu'une application est injective, 2 possibilités :

-montrer que f(x,y)=f(x',y')=>x=x' et y=y'. En effet, la fonction étant injective, un même élément ne peut avoir plus de 1 antécédent par f (il peut ne pas en avoir aussi...).
-montrer que f(x,y)=(0,0,0)=>(x,y)=(0,0). Car on sait que (0,0) est un antécédent de (0,0,0) par ta fonction f. Or (0,0,0) ne peut en avoir qu'un si la fonction est injective. Donc on a forcément (x,y)=(0,0).

pour la 3)

On l'a vu, l'application est injective, donc on a bien ker(f)={(0,0)}.
Je ne suis pas d'accord pour Im(f) : on a f(x,y)=(x-2y,2x+y,x-y)=(x,2x,x)+(-2y,y,-y)=vect((1,2,1),(2,-1,1))

Cordialement

[gg0]

Un théorème à connaître :

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à 0.

Autrement dit :
f : E --> F est injective si et seulement si f(x)=0_F <=> x=0_E.

Ce théorème est facile à prouver, et fait un exercice d'apprentissage facile.

Cordialement.

[inviteb892447d]

Merci pour la vérification et les explications sur l'injection je pense avoir compris, c'était plus un problème de réflexion

@matttgic : En effet pour Im(f) je me suis trompé, j'ai changé l'énoncé dans la réponse sans m'en rendre compte.. merci !

Je vais continuer à faire quelques exercices basiques pour m’entraîner, je reviendrai si je continue à bloquer.

Merci,

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]