Théorème de Darboux :que dire de la réciproque ?

[invite5ae8e25a]

Salut ,
on sait que d'après le théorème de Darboux une fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (PVI) mais est ce que la réciproque est vraie ? ( Si non j'aimerais que vous me donniez un exemple de fonction vérifiant la PVI mais qui ne peut pas être une fonction dérivée )
Merci d'avance !
à +
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Les fonctions et définies sur R par:



satisfont toutes deux le théorème des valeurs intermédiaires sur tout intervalle .

La différence ne satisfait pas le théorème des valeurs intermédiaires sur tout intervalle avec : cette fonction n'admet pas de primitive sur R, donc il en est de même pour l'une au moins des fonctions ou .

[invite5ae8e25a]

oui je vois , merci !
Mais par curiosité , y'a t'il parmi ces deux fonctions f et g une qui admet une primitive ? Et si oui alors qu'elle est cette primitive ?

[invite57a1e779]

Si ou admet une primitive , elle sera de la forme :



où est un nombre réel arbitraire. Il reste à voir si la fonction ainsi définie est dérivable en 0 et quelle est la valeur de .
Comme est paire, la seule valeur possible est , c'est-à-dire que la seule dérivée possible est : la fonction satisfait le théorème des valeurs intermédiaires sans admettre de primitive.

[A voir en vidéo sur Futura]