Théorème de Darboux.

[fred3142]

Bonjour,

J'ai démontré de deux façons classiques le théorème de Darboux (première démo de wiki + démo avec les taux d'accroissement et le TAF).

J'ai lu dans un livre l'alternative suivante, avec laquelle je ne suis pas tout à fait d'accord :


Soient un intervalle d'intérieur non vide et dérivable. Soient éléments de . Soit . On va montrer qu'il existe vérifiant .
Notons définie par .
On a donc g n'est pas injective. En effet, si elle l'était, elle serait strictement monotone (car elle est continue) et donc sa dérivée aurait un signe constant.
On peut donc trouver deux points distincts de ]a,b[ ayant même image par g.
Puis on conclue en appliquant Rolle à g entre des deux points.


Je ne suis pas d'accord avec le passage en gras : pour moi, on peut seulement dire que a un signe constant sur l'intérieur de son intervalle de définition, en l'occurrence sur , et donc comme on a des infos sur le signe de g' en a et b, c'est loupé (aucune hypothèse de continuité sur g' bien entendu, sinon le théorème n'offre pas beaucoup d'intérêt!). Bien sûr, a posteriori, l'info sur les signes de g'(a) et g'(b) est suffisante (on ne peut avoir g'(a) seul point <0 de g' par exemple, parce que g'(I) est un intervalle, mais c'est justement grâce au théorème de Darboux que l'on peut affirmer cela a posteriori).
Pour moi, si on voulait garder cette idée de démonstration, il faudrait définir g sur I pour pouvoir conclure à l'existence de deux éléments de I (et non de ]a,b[) ayant la même image par g.

Etes-vous d'accord avec moi ou bien est-ce que je me trompe?

Merci d'avance.
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[Tiky]

Bonjour,

La partie en gras me semble juste. Une fonction dérivable est monotone sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée garde un signe constant sur I. Le fait d'avoir un signe constant dans l'intérieur de I ne suffit pas.

Démonstration :
Le sens indirect est trivial. Je ne fais que le sens direct. Je traite le cas du segment .

Soit dérivable et croissante sur .

Il est clair que pour h > 0 assez petit et , est bien définie et .
Donc par passage à la limite, on en déduit que pour . Il reste à traiter que la cas de b.

On considère avec h > 0. De même

[fred3142]

Exact merci, je ne sais pas pourquoi j'ai cru que la CNS était le signe constant de f' sur l'intérieur de I ... pourtant c'est un peu la base .
Bonne fin de journée!