Rebonsoir,
Voici un autre théorème pour lequel j'aurais besoin d'un conseil : le théorème de la réciproque disant que pour une fonction (définie sur un certain intervalle I) continue et strictement monotone, on a une injection (trivial d'accord...) et la réciproque f-1 est aussi définie.
Pour montrer la continuité à l'intérieur de l'intervalle, ça va, mais pour adapter cette démo aux extrémités, je ne vois pas trop...
Le chemin suivit par la démonstration :
1) On prend f(q) = p (pas une extrémité de l'intervalle). Donc q n'est pas une extrémité de I.
2) Soit e>0 tq [q-e;q+e] dans I, on veut trouver un d>0 pour un tel e
Mais f envoie l'intervalle J=[q-e;q+e] sur un intervalle de forme [c;d] où f([q-e;q+e]) = [c;d] dans f(I)
et puisque f strictement monotone : c<p<d
Soit d=min(p-d;p+d) alors d>0 et [p-d;p+d] inclus à f([q-e;q+e])
Donc f-1(p-d;p+d) inclus dans [q-e;q+e]
Donc pour tout e>0, on a trouvé un d>0 tq si abs(x-p) < d alors abs(f-1(x) - f-1(p)) < e et f-1 est continue en p.
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