construction de IR

**physiquantique** · 20/12/2011, 17h25

Bonjour ,

je suis tombé en lisant un cours d'analyse sur un problème intéressant : la construction de IR...

Je crois donc avoir compris que la motivation de la construction de IR par rapport à Q est que Q n'est pas complet , et que donc les suites de Cauchy (au sens de la valeur absolue) ne convergeaient pas toutes dans Q .

Seulement , je ne comprends pas pourquoi Q n'est pas complet , à cause de la définition des suites convergentes : une suite d'élements d'un corps K converge vers a de K ssi
pour tout epsilon appartenant à K+* il existe un N dans N , tq pour tout n > N , l xn - a l < epsilon

Or vu la définition , j'ai l'impression que l'on ne peut parler de convergence que pour un élement appartenant déja au corps K...
COmment définit on alors une suite de Cauchy qui ne converge pas dans Q ? (un exemple ?)

Par ailleurs , j'ai lu que IR se construisait comme l'ensemble quotient de l'anneau des suites de cauchy dans Q par la relation (deux suites sont équivalentes ssi leur différence converge vers 0) . Ainsi , IR serait constitué d'ensembles d'élements de Q ...
Comment alors cette construction règle le problème de la convergence des suites de Cauchy ?

Merci d'avance.

**Médiat** · 20/12/2011, 17h49

Bonjour ,

Envoyé par physiquantique

Or vu la définition , j'ai l'impression que l'on ne peut parler de convergence que pour un élement appartenant déja au corps K...

Oui, c'est exact.

Envoyé par physiquantique

COmment définit on alors une suite de Cauchy qui ne converge pas dans Q ? (un exemple ?)

la suite 1 ; 1.4 ; 1.41 ;
etc du développement décimale de racine(2) est bien une suite de Cauchy d'éléments de Q qui ne converge pas dans Q.

Envoyé par physiquantique

Par ailleurs , j'ai lu que IR se construisait comme l'ensemble quotient de l'anneau des suites de cauchy dans Q par la relation (deux suites sont équivalentes ssi leur différence converge vers 0) . Ainsi , IR serait constitué d'ensembles d'élements de Q ...
Comment alors cette construction règle le problème de la convergence des suites de Cauchy ?

Vous trouverez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3692563 en page 23 les explications minimales sur cette construction.

Et là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3695184 vous trouverez plus de détail sur la complétion (dans le chapitre 3).

**physiquantique** · 20/12/2011, 18h04

Merci infiniment ,euh le document en question ... il s'agit bien de "final.pdf" en pièce jointe ?

**Médiat** · 20/12/2011, 18h20

Envoyé par physiquantique

Merci infiniment ,euh le document en question ... il s'agit bien de "final.pdf" en pièce jointe ?

Le premier oui, le second est Corps ordonnés.pdf

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**physiquantique** · 20/12/2011, 18h21

et c'est accessible pour un niveau L1 ?

**Médiat** · 20/12/2011, 18h26

Il n'y a rien de vraiment compliqué, mais sans doute des définitions et quelques théorèmes qui ne sont pas vus en L1

**physiquantique** · 20/12/2011, 18h37

J'ai l'impression de me noyer encore plus avec le premier polycopié : à la fin de la partie qui commence à la page 23 , ils concluent en disant que l'ensemble qu'ils ont créé est isoùmorphe à IR ...

Donc en fait , la construction se fait en deux étapes : la première ou l'ont fait la liste au père noel pour faire de IR un corps qui arrange bien ... et la seconde ou finalement on construit ses cadeaux soit meme (construction de l'esnemble qui muni des bonnes lois est un corps isomorphe à IR) ?

Bonnes fêtes de noel et merci encore pour ce cadeau ^^ je crois que je vais avoir du mal à l'assimiler quand même ...

**breukin** · 20/12/2011, 21h20

Une suite de Cauchy sur les rationnels ne se définit pas par sa convergence, mais par la propriété que pour tout rationnel positif aussi petit que l'on veut, on puisse trouver un entier suffisamment grand tel que toutes les différences possibles entre deux termes d'ordre supérieur à l'entier trouvé soient inférieures en valeur absolue au rationnel choisi.

Il se trouve que l'on peut exhiber des suites de Cauchy sur les rationnels telles qu'il soit impossible de trouver un rationnel vérifiant la propriété que pour tout rationnel positif aussi petit que l'on veut, on puisse trouver un entier suffisamment grand tel que la différence entre un terme d'ordre supérieur à l'entier trouvé et le rationnel recherché soit inférieure en valeur absolue au rationnel choisi.

**physiquantique** · 21/12/2011, 09h04

Bonjour ,

merci pour votre précision .

Par contre , les suites de Cauchy qui montrent que Q n'est pas complet sont bien celles qui convergent ... non ?

Finalement je crois avoir compris un peu (grace notamment au polycopié donné par médiat , j'ai enfin trouvé la bonne page : les coupures de dedekind et les suites de Cauchy).

Les coupures de dedekind montrentn qu'ils ya des trous dansQ : ces trous ne sont-ils pas là ou les coupures sont des ouverts ?

Dans ce cas , ne peut on pas dire que les irrationels sont en fait des ouverts , qu'on ne peut pas représenter par un point bien défini un irrationel ?

**Médiat** · 21/12/2011, 09h30

Envoyé par physiquantique

Par contre , les suites de Cauchy qui montrent que Q n'est pas complet sont bien celles qui convergent ... non ?

Au contraire, ce sont celles qui ne convergent pas qui montrent que Q n'est pas complet.

invite2e5fadca · 21/12/2011, 09h42

En fait, la définition d'être une suite convergente dans $\text{[math]}$ est précisément la suivante :

$\text{[math]}$

Donc la limite de la suite doit être dans $\text{[math]}$ . D'autre part, la définition de suite de Cauchy dans $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Maintenant si tu as construit $\text{[math]}$ , une suite de Cauchy dans $\text{[math]}$ , l'est aussi dans $\text{[math]}$ , donc elle converge dans $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$ est complet. Cependant rien ne t'assure que la limite $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ , donc ta suite n'a pas de raison de converger dans $\text{[math]}$ .

Tu as comme exemple celui qu'a donné Médiat :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est une suite dans $\text{[math]}$ qui converge dans $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ . Ainsi cette suite est de Cauchy dans $\text{[math]}$ , mais elle ne converge pas dans $\text{[math]}$ . (Si elle convergeait, sa limite serait $\text{[math]}$ par unicité, mais $\text{[math]}$ ).

**breukin** · 21/12/2011, 13h22

Par contre , les suites de Cauchy qui montrent que Q n'est pas complet sont bien celles qui convergent ... non ?

Ce sont celles qui convergeront dans le nouvel ensemble qu'on construit ainsi.

**physiquantique** · 21/12/2011, 14h13

d'accord ...
Pour la définition exact , je crois que je l'avais mentionné au début correctement , ce n'est as une question de bonne définition mais d'intuition trompeuse : j'aimerais bien dire qu'une telle suite converge mais on ne peut pas le vérifier en restant dans Q .

Sinon , d'ou viens lle fait que Q n'est pas complet ... je trouve ça assez sureprenant quand même.

**Seirios** · 21/12/2011, 14h27

j'aimerais bien dire qu'une telle suite converge mais on ne peut pas le vérifier en restant dans Q .

C'est l'intérêt de faire la distinction entre suite convergente et suite de Cauchy.

Sinon , d'ou viens lle fait que Q n'est pas complet ... je trouve ça assez sureprenant quand même.

On peut dire que cela vient du fait que Q est dénombrable. D'une certaine manière, il ne contient pas assez d'éléments pour que toutes les suites de Cauchy puissent converger (c'est une application du théorème de Baire).
Par exemple, on peut montrer que tout rationnel admet un développement décimal périodique à partir d'un certain rang, donc on peut facilement construire une suite de Cauchy qui ne converge pas dans Q : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , ..., $\text{[math]}$ , etc.

**Médiat** · 21/12/2011, 14h42

Envoyé par Seirios (Phys2)

On peut dire que cela vient du fait que Q est dénombrable.

Personnellement je suis assez rétif à ce genre d'arguments (il manque quelque chose), par exemple IN est Cauchy-complet, alors que IN est bien dénombrable.

**Seirios** · 21/12/2011, 15h38

L'argument était délibérément vaseux, c'était principalement pour donner une idée. Si l'on veut être précis, on peut montrer qu'un espace uniforme, complet et admettant un système fondamental dénombrable d'entourages, est un espace de Baire. A partir de quoi l'on peut déduire qu'il n'existe pas d'espace uniforme dénombrable qui soit séparé, non discret et complet.

**physiquantique** · 22/12/2011, 13h17

euh , je dis peut etre des betises , mais le terme "complet" n'est pas emploé généralement avec des espaces vectoriels ? Parceque IN n'est pas un groupe , et je crois que la valeur absolue n'est définie que sur des groupes ... Par contre pour Z muni de la bonne addition peut être que c'est le cas ...

Du coup , vu que cet argument n'est pas satisfaisant , est-ce qu'il y a quelquechose qui serait à l'origine du fait que que Q n'est pas complet ? De mon coté , (peut etre du a mon manque d'expérience) , je trouve qu'il y a quelquechose de mystérieux la dedans ...

**physiquantique** · 22/12/2011, 13h19

Envoyé par Seirios (Phys2)

L'argument était délibérément vaseux, c'était principalement pour donner une idée. Si l'on veut être précis, on peut montrer qu'un espace uniforme, complet et admettant un système fondamental dénombrable d'entourages, est un espace de Baire. A partir de quoi l'on peut déduire qu'il n'existe pas d'espace uniforme dénombrable qui soit séparé, non discret et complet.

Je retire le message précédent ...

Bon bah je verrais bien ça tot ou tard hein ^^

**Seirios** · 22/12/2011, 14h18

euh , je dis peut etre des betises , mais le terme "complet" n'est pas emploé généralement avec des espaces vectoriels ?

Le terme complet est utilisé le plus généralement dans le cadre des structures uniformes, mais le plus souvent on l'utilise dans le cadre des espaces métriques. Un espace métrique est un ensemble X muni d'une distance d (une application de X x X dans X vérifiant certaines propriétés). Dans ces espaces on dit qu'une suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier N tel que pour tout n>N, $\text{[math]}$ ; on dit qu'une suite $\text{[math]}$ est de Cauchy si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier N tel que pour tout p,q>N, $\text{[math]}$ . On dit alors qu'un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.
[La formulation avec les structures uniformes est plus complexe, et n'apporte pas grand chose ici.]

Bon bah je verrais bien ça tot ou tard hein ^^

Regarde un cours sur la topologie des espaces métriques, c'est assez abordable. Dans une version métrique, l'argument que je t'ai proposé stipule que l'on ne peut pas munir Q d'une distance non triviale le rendant complet. C'est une conséquence du théorème de Baire, que tu devrais trouver dans un cours sur les espaces métriques.

**physiquantique** · 22/12/2011, 14h46

Envoyé par Seirios (Phys2)

Le terme complet est utilisé le plus généralement dans le cadre des structures uniformes, mais le plus souvent on l'utilise dans le cadre des espaces métriques. Un espace métrique est un ensemble X muni d'une distance d (une application de X x X dans X vérifiant certaines propriétés). Dans ces espaces on dit qu'une suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier N tel que pour tout n>N, $\text{[math]}$ ; on dit qu'une suite $\text{[math]}$ est de Cauchy si pour tout $\text{[math]}$ , il existe un entier N tel que pour tout p,q>N, $\text{[math]}$ . On dit alors qu'un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.
[La formulation avec les structures uniformes est plus complexe, et n'apporte pas grand chose ici.]

Regarde un cours sur la topologie des espaces métriques, c'est assez abordable. Dans une version métrique, l'argument que je t'ai proposé stipule que l'on ne peut pas munir Q d'une distance non triviale le rendant complet. C'est une conséquence du théorème de Baire, que tu devrais trouver dans un cours sur les espaces métriques.

Bien merci beaucoup !

Dernière petite question presque hors sujet : un isomorphisme de IR dans IR , est forcément l'identité , non ? (parceque je cherche à montrer qu'un isomorphisme de IR dans un sous corps de IR est l'identité , exo mentionné dans ce fameux bouquin).

En fait en ce qui concerne le cours sur les espaces métriques , je penses qu'ils seront succintement abordés dans le livre que je lis en ce moment : il parlent de topologie (meme si ca peut etre plus général que les espaces métriques) ...

**breukin** · 22/12/2011, 16h40

La distance ne me semble pas être de X x X dans X ? mais dans R (quand R est déjà défini)

A cette dernière remarque, pour éviter de se mordre la queue, on a une distance "rationnelle" naturelle de QxQ dans Q qui permet d'y définir des suites de Cauchy conduisant à la construction de R, permettant ensuite la définition des distances "réelles" dans R servant aux suites de Cauchy dans un espace métrique.

**scroux** · 22/12/2011, 17h40

C'est pour ça qu'on devrait plutôt parler de suite de pré-Cauchy.

**scroux** · 22/12/2011, 17h43

Envoyé par Médiat

par exemple IN est Cauchy-complet

Pour la valeur absolue.

Petit hors sujet de ma part : Je ne pense pas qu'on puisse en dire autant pour la distance utilisée dans la construction des nombres p-adiques.

**Tryss** · 22/12/2011, 18h05

Envoyé par physiquantique

Dernière petite question presque hors sujet : un isomorphisme de IR dans IR , est forcément l'identité , non ? (parceque je cherche à montrer qu'un isomorphisme de IR dans un sous corps de IR est l'identité , exo mentionné dans ce fameux bouquin).

$\text{[math]}$ me semble être un isomorphisme de IR dans IR qui n'est pas l'identité.

**physiquantique** · 22/12/2011, 18h18

ça n'est pas un morphisme d'anneaux , donc pas un morphisme de corps il me semble

**Tryss** · 22/12/2011, 18h24

Erf, complêtement dsésolé, j'ai un peu zappé le fait que (-a)(-b) n'est pas égal à -(ab) :/

**physiquantique** · 22/12/2011, 18h26

Envoyé par Tryss

$\text{[math]}$ me semble être un isomorphisme de IR dans IR qui n'est pas l'identité.

de touite façon on montre qu'un morphisme de corps de IR dans un sous corps de IR est croissant...

**Seirios** · 23/12/2011, 09h51

Envoyé par physiquantique

Dernière petite question presque hors sujet : un isomorphisme de IR dans IR , est forcément l'identité , non ? (parceque je cherche à montrer qu'un isomorphisme de IR dans un sous corps de IR est l'identité , exo mentionné dans ce fameux bouquin).

Une petite remarque : la notion d'isomorphisme dépend de la structure algébrique que l'on considère, donc lorsqu'il n'y a pas de contexte, précise bien qu'il s'agit d'un morphisme de corps.

Sinon, je te propose ce raisonnement : $\text{[math]}$ pour tout x, donc si f n'est pas identiquement nulle (ce qui est évident puisqu'elle doit être bijective et que IR n'est pas fini), f(1)=1. On en déduit que pour tout entier q non nul, $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ . De plus, pour tout entier positif p, $\text{[math]}$ . On étend le résultat aux entiers négatifs en remarquant que pour tout x, $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ (f(0)=0, puisque pour tout x, $\text{[math]}$ ). Finalement, pour tous entiers p, q (q non nul), $\text{[math]}$ . On a donc montré que $\text{[math]}$ .

Pour tout x, $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ , on déduit de la linéarité de f et de l'argument précédent que f est croissante.

Soit un réel x. Par densité de Q dans IR, on peut se donner deux suites de rationnels $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement croissante et décroissante, convergeant vers x. Comme f est croissante et laisse Q fixe, pour tout n, $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ en passant à la limite.

En fait en ce qui concerne le cours sur les espaces métriques , je penses qu'ils seront succintement abordés dans le livre que je lis en ce moment : il parlent de topologie (meme si ca peut etre plus général que les espaces métriques) ...

Par curiosité, quel est ce livre ?

Envoyé par breukin

La distance ne me semble pas être de X x X dans X ? mais dans R (quand R est déjà défini)

Oui, bien sûr.

A cette dernière remarque, pour éviter de se mordre la queue, on a une distance "rationnelle" naturelle de QxQ dans Q qui permet d'y définir des suites de Cauchy conduisant à la construction de R, permettant ensuite la définition des distances "réelles" dans R servant aux suites de Cauchy dans un espace métrique.

Cela ne pose pas de problème si l'on passe par les valuations.

**Médiat** · 23/12/2011, 11h43

Bonjour,

Envoyé par Seirios (Phys2)

Une petite remarque : la notion d'isomorphisme dépend de la structure algébrique que l'on considère.

Tout à fait (c'est même fondamental), j'ai failli intervenir en disant que f(x) = x + 1 était un isomorphisme de IR dans IR

**physiquantique** · 23/12/2011, 14h00

désolé

je pensé que l'indication "de IR dans un sous corps de IR" était suffisante (un sous corps étant un corps , enfin bref...) Je me rend bien compte que ca pose un probleme ...

Par contre , f : x --> x+1 est un morphisme pour quelles structures ????

Pour la résolution de l'exercice ... merci mais tu gache le mystère un peu ^^

Moi j'avais commencer à montrer la croissance de l'isomorphisme (en utilisant à la fois la loi additive et multpilicative : supposons x<y i.e il existe epsilon de IR+* tq y = e + x d'ou phi (y - x) = phi (epsilon) = phi (y) -phi (x) . Supposons donc phi (y)-phi(x) <0 alors phi (epsilon) < 0 , d'ou phi (y-x).phi(epsilon) > 0
phi (epsilon y - epsilon x) > 0 et en utilisant les propriété de corps ordonné de IR on trouve une contradiction puisque epsilon y > epsilon x ) .

Après j'étais parti sur la continuité de phi (le morphisme) , pour essayer de montrer que phi allait dans IR . Enfin c'est pas terrible .

construction de IR

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Re : construction de IR

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