Bonjour,
Je suis étudiant en sciences physiques, et je m'intéresse de loin à la logique mathématique.
J'ai récemment lu un livre d'introduction au sujet de cette discipline (je ne sais pas si je peux le citer, donc je m'en abstiendrai). Cet ouvrage, accessible à tous, m'a permis d'aborder ce vaste sujet dans de bonnes conditions. J'ai par après lu quelques articles sur le net et plusieurs questions me sont venues à l'esprit:
1) Dans le dernier chapite, l'auteur parle des théories axiomatiques, et aborde brièvement le théorème d'incomplétude de Godel qui dit qu'il exite des propositions (j'entends par propositions des formules de la logique du 1er ordre qui sont interprétées dans une structure particulière) qui sont "vraies" dans une structure donnée, mais qui ne peuvent toutefois pas êtres démontrées à partir d'une liste d'axiomes spécifiques choisis arbitrairement. Dans ce cas, je ne vois pas du tout l'objectif d'établir une liste d'axiomes pour démontrer des propositions qui sont déja considérées comme "vraies" avant même de les avoir démontrées... A moins qu'il y ait plusieurs sens au mot "vrai" et que les mathématiques n'accordent la vérité qu'aux propositions qui sont démontrables a partir des axiomes?
2) Ma seconde question rejoint un peu la 1ere. Elle est survenue en lisant un article qui disait qu'en ayant modifié le dernier postulat d'Euclide, on était passés d'une géométrie plane à une géométrie courbe. Au niveau des théories axiomatiques, cela signifierait qu'en changeant un axiome (par exemple, en prenant sa négation) et en conservant la structure, on obtiendrai de nouvelles propositions vraies ou fausses (selon qu'elles sont démontrables ou non par la nouvelle liste d'axiomes). Pourtant, comme souligné ci-dessus, les poropositions sont déja vraies ou fausses dans une structure donnée, ca n'aurait aucun sens de démontrer des porpositions fausses.... ?
J'espère que mes questions paraissent claires, l'essentiel est qu'il y a une confusion entre ce qui est vrai en math et ce qui est vrai en logique.
Merci de répondre de manière simple car je ne suis qu'un pauvre physicien cherchant à appréhender la beauté des mathématiques![]()
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