Questions de logique mathématique

[Le petit belge]

Bonjour,

Je suis étudiant en sciences physiques, et je m'intéresse de loin à la logique mathématique.
J'ai récemment lu un livre d'introduction au sujet de cette discipline (je ne sais pas si je peux le citer, donc je m'en abstiendrai). Cet ouvrage, accessible à tous, m'a permis d'aborder ce vaste sujet dans de bonnes conditions. J'ai par après lu quelques articles sur le net et plusieurs questions me sont venues à l'esprit:

1) Dans le dernier chapite, l'auteur parle des théories axiomatiques, et aborde brièvement le théorème d'incomplétude de Godel qui dit qu'il exite des propositions (j'entends par propositions des formules de la logique du 1er ordre qui sont interprétées dans une structure particulière) qui sont "vraies" dans une structure donnée, mais qui ne peuvent toutefois pas êtres démontrées à partir d'une liste d'axiomes spécifiques choisis arbitrairement. Dans ce cas, je ne vois pas du tout l'objectif d'établir une liste d'axiomes pour démontrer des propositions qui sont déja considérées comme "vraies" avant même de les avoir démontrées... A moins qu'il y ait plusieurs sens au mot "vrai" et que les mathématiques n'accordent la vérité qu'aux propositions qui sont démontrables a partir des axiomes?

2) Ma seconde question rejoint un peu la 1ere. Elle est survenue en lisant un article qui disait qu'en ayant modifié le dernier postulat d'Euclide, on était passés d'une géométrie plane à une géométrie courbe. Au niveau des théories axiomatiques, cela signifierait qu'en changeant un axiome (par exemple, en prenant sa négation) et en conservant la structure, on obtiendrai de nouvelles propositions vraies ou fausses (selon qu'elles sont démontrables ou non par la nouvelle liste d'axiomes). Pourtant, comme souligné ci-dessus, les poropositions sont déja vraies ou fausses dans une structure donnée, ca n'aurait aucun sens de démontrer des porpositions fausses.... ?

J'espère que mes questions paraissent claires, l'essentiel est qu'il y a une confusion entre ce qui est vrai en math et ce qui est vrai en logique.

Merci de répondre de manière simple car je ne suis qu'un pauvre physicien cherchant à appréhender la beauté des mathématiques
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[Médiat]

Bonjour,

Je suis étudiant en sciences physiques, et je m'intéresse de loin à la logique mathématique.

N'hésitez pas à vous rapprocher, les logiciens ne mordent pas, en tout cas, pas souvent

1) Dans le dernier chapite, l'auteur parle des théories axiomatiques, et aborde brièvement le théorème d'incomplétude de Godel qui dit qu'il exite des propositions (j'entends par propositions des formules de la logique du 1er ordre qui sont interprétées dans une structure particulière) qui sont "vraies" dans une structure donnée, mais qui ne peuvent toutefois pas êtres démontrées à partir d'une liste d'axiomes spécifiques choisis arbitrairement. Dans ce cas, je ne vois pas du tout l'objectif d'établir une liste d'axiomes pour démontrer des propositions qui sont déja considérées comme "vraies" avant même de les avoir démontrées... A moins qu'il y ait plusieurs sens au mot "vrai" et que les mathématiques n'accordent la vérité qu'aux propositions qui sont démontrables a partir des axiomes?

D'abord un point important de vocabulaire : soit T une théorie, les expressions "vrai dant telle structure (dans tel modèle de T)", ou "vrai dans tous les modèles de T" sont parfaitement acceptables. L'expression "vrai dans la théorie T" utilisée comme synonyme de "démontrable dans la théorie T" est mathématiquement légitime, puisque "démontrable dans T" est équivalent à "vrai dans tous les modèles de T", mais cette expression est dangereuse, puisque l'on transfère une notion sémantique (les structures) dans le syntaxique (la théorie).

Pour répondre à votre question, il suffit de considérer la théorie des groupes et le groupe des entiers relatifs munis de l'addition. Nous savons tous que ce groupe est commutatif, ce qui n'est pas démontrable dans la théorie des groupes ; ce que dit le théorème d'incomplétude de Gödel, c'est que l'on pourra ajouter autant d'axiomes que l'on veut (sous certaines conditions) à la théorie de l'arithmétique de Peano, il restera des propositions "vraies dans IN", mais pas démontrables dans la nouvelle théorie.

2) Ma seconde question rejoint un peu la 1ere. Elle est survenue en lisant un article qui disait qu'en ayant modifié le dernier postulat d'Euclide, on était passés d'une géométrie plane à une géométrie courbe. Au niveau des théories axiomatiques, cela signifierait qu'en changeant un axiome (par exemple, en prenant sa négation) et en conservant la structure, on obtiendrai de nouvelles propositions vraies ou fausses (selon qu'elles sont démontrables ou non par la nouvelle liste d'axiomes). Pourtant, comme souligné ci-dessus, les propositions sont déja vraies ou fausses dans une structure donnée, ca n'aurait aucun sens de démontrer des porpositions fausses.... ?

En fait, dans le cas que vous citez, certaines structures sont des modèles de telle axiomatique (par exemple la géométrie euclidienne) et d'autres (forcément différentes) sont des modèles d'autres géométries (Riemann ou Lobatchevski et Bolyai), il n'y a pas de contradiction, par contre on voit bien poindre le nez de mon objection à l'usage du mot "vrai" pour une théorie, laquelle de ces trois théories est plus vraie que les autres ? Mathématiquement, cette question n'a pas de sens.

Merci de répondre de manière simple car je ne suis qu'un pauvre physicien cherchant à appréhender la beauté des mathématiques

Cet aveu vous ouvrira les portes du paradis

[Le petit belge]

Merci pour votre réponse! Elle éclaire quelque peu les cotés obscurs qui sont malheureusement peu ou pas abordés dans nos cours de math.

Bonne journée