Application adjointe

[Tiky]

Bonjour,

En lisant un cours, j'ai fait un exercice dont l'énoncé me laisse quelque peu perplexe.
Je ne sais pas si la notion d'adjonction vous est familière, aussi vais-je la rappeler brièvement :
Soit et deux ensembles préordonnés et une application. On dit que
est une adjointe de à droite (ou que est une adjointe de à gauche) si :


L'exercice est un critère d'existence d'une adjointe à gauche pour une certaine application croissante.

Soit et deux ensembles préordonnés et une application croissante.
On suppose que pour tout , il existe une famille d'éléments de telle que :

• 
• tel que , on a que
• existe et

Avec la relation d'équivalence définie par :


Je n'ai pas de problème pour résoudre l'exercice mais ce que je ne comprends pas c'est que pour moi, la première et seconde assertion impliquent que :


Et donc

Autrement dit tous les éléments sont des minimums de la famille .
Je ne vois pas alors l'utilité de supposer l'existence d'une borne inférieure dans la troisième assertion.

Merci de votre aide
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