Décomposition de Hodge.

[invite86150b1a]

Bonjour à tous!!

Je suis un cours de géométrie différentielle "accéléré" dans lequel on inculque les bases entre autres de la cohomologie pour physiciens, dans une école d'été.
On nous a parlé, pour les variétés de complexes, de structure de Hodge sur la cohomologie des variétés complexes, et d’après ce qu'en dit la prof, c'est une décomposition subtile et difficile à obtenir.
Or j'ai l'impression, peut être fausse, que c'est tout bête a obtenir comme décomposition, il suffit juste d'écrire une n-forme sous la forme , ce qui est d'ailleurs écrit dans mon cours un peu plus loin. Est ce que je rate quelque chose? Ou cette décomposition est elle en fait triviale?
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[invite7512668d]

Bonjour,

Sur une variété lisse, on a le complexe de Rham où formé des espace des r-formes différentielles à coefficients complexes et de la différentielle extérieure. La cohomologie de Rham est la cohomologie de ce complexe. Si la variété es munie d'une structure complexe, on a la décomposition où est l'espace des formes différentielles qui s'écrivent localement avec les notations évidentes. Si on calcule la différentielle d'une telle forme, on a s'aperçoit que . Ainsi la différentielle de Rham ne préserve pas la décomposition celle-ci ne passe pas trivialement à la cohomologie.

Alors comment montrer la décomposition de Hodge? On revient au cas d'une variété riemannienne compacte. Le point difficile est un théorème d'analyse qui affirme que toute classe de cohomologie est représentable par une unique forme harmonique i.e. annulée par le laplacien. Si on impose en plus une condition technique de compatibilité entre les structures riemanniennes et complexes, alors on montre de façon formelle que le laplacien est homogène . Ainsi, si une forme différentielle est harmonique ses composantes de type (p,q) le sont aussi. Et on a donc qui est de plus compatible à la conjugaison complexe.