Bonjour les petits génis!
Comme l'indique le titre du topic, je cherche à [...attention prennez votre respiration...] calculer l'équation de la courbe d'ajustement par un polynôme du second degré à partir de coordonnées de points.
Un peu comme Excel le fait ici (courbe de tentedance avec régression polynomiale de degrès 2)
Prennons un exemple. J'ai ces points, comment faire ?
X ----- Y
5490 92650
5500 95455
5800 97800
5900 91000
6100 75213
6200 43100
Merci
Bonjour,
C'est une question très classique.
Les régressions sont généralement faites avec la méthode des moindres carrés.
Celle qui est très (voire trop) connue est la régression linéaire simple.
Mais vous pouvez aussi faire un changement de variable sur l'une, l'autre ou les deux variables. Ce qui donné 4 formules possibles
1- linéaire
2- logarithmique
3- exponentielle
4- puissance
Généralement on s'en sort très bien avec l'une de ces 4 formes. En tout cas, moi, je m'en suis toujours sorti.
Imaginons que vous ayez 3 variables X, Y, Z, c'est à peu près la même chose, mais là il y a 8 formes possible (de mémoire).
Au delà de 3 variables, ça devient un peu peu plus compliqué, et je ne traite que la forme "puissance".
Naturellement je vois donnerai tous les détails que vous voudrez.
Il y juste une condition indispensable dans tous les cas, la fonction doit être monotone et dérivable dans l'intervalle considéré.
J'ai regardé vos 6 point, la courbe n'est pas monotone. Donc la technique habituelle n'est pas utilisable.
Soit vous la scindez en 2, mais comme il y a un maximum, au mieux vous aurez 2 fois trois points, c'est pas braiment suffisant et il y aura un point de discontinuité, soit vous écrivez les 3 équations, puisqu'il y a 3 inconnues et vous appliquez la méthodes des moindres carrés.
Il ne faut être étonné que la "courbe des 6 points" ne soit pas monotone puisqu'on veut l'approximer par une parabole ! (ce n'est pas une droite, une exponentielle ou un log...)Envoyé par Dlzlogic
Par railleurs, on peut toujours chercher un polynôme de degré 2 (ou 1, ou 3, etc. peu importe) qui minimise une différence des carrés, que "la courbe des points" soit monotone ou pas, cela n'a rien à voir...
Certes,
Les méthodes d'ajustement habituellement utilisées nécessitent que la courbe soit monotone.
Il s'agissait là du cas général et permettant des outils automatiques.
Manifestement ce n'est pas le cas ici, donc il me semble nécessaire de faire un calcul ponctuel.
Concernant la parabole, c'est une fonction très utilisée pour ses propriétés intéressantes, mais rien n'interdit qu'il s'agisse d'un arc de parabole, monotone. Par ailleurs rien ne dit non plus que cette ait son axe de symétrie parallèle à l'axe des Y.
Enfin, si on cherche un courbe qui minimise la SOMME des carrés (et non la différence), comment sait-on que c'est une parabole ?
Il est vrai qu'il existe de logiciels qui font cela, en tout cas, je pense.
Donc il aurait mieux valu poser la question dans le forum informatique.
En tout cas, le calcul n'est pas très difficile, tu dois l'avoir sous le coude.
Tu poses f(x) = a.x^2 + b.x + c
Tu considères la somme de carrés
Cette somme vaut
Il faut trouver a,b,c pour cette somme S soit minimale (c'est pour cela que l'on appelle cette méthode, la méthode des moindres carrés).
L'existence et l'unicité d'un triplet a,b,c minimisant la somme S est justifiée par théorème (je ne rentre pas dans le détail, mais la justification est intéressante).
Pour trouver le triplet minimisant S, il suffit de calculer le lieu où s'annule le gradiant de S par rapport à a, b, c :
On résout Grad(S) = 0 et on trouve
,
La meilleure parabole au sens des moindres carrés est donc
Peut-on avoir une référence sur cette condition de monotonie ?
Personnellement, je n'ai jamais vu cela... donc cela m'intéresse de voir ça.
Bonjour,
Votre graphique n'apparaissait pas encore lors de mes premières réponses.
Il apparait donc bien qu'on est dans le cas général, ou au moins le plus fréquent, où la courbe cherchée est monotone, et c'est une courbe définie dans un domaine limité.
Il a-t-il une raison particulière pour que la fonction à obtenir soit du second degré. Autrement dit, est-ce un cas réel.
Par ailleurs, je suppose que vous disposez de la liste des points.
Bonjour 9elstreet,Il faut trouver a,b,c pour cette somme S soit minimale (c'est pour cela que l'on appelle cette méthode, la méthode des moindres carrés ).
L'existence et l'unicité d'un triplet a,b,c minimisant la somme S est justifiée par théorème (je ne rentre pas dans le détail, mais la justification est intéressante).
Pour trouver le triplet minimisant S, il suffit de calculer le lieu où s'annule le gradiant de S par rapport à a, b, c :
Il y a lieu de compléter et préciser le texte de Léon1789.
La somme des carrés dont on parle est la somme des carrés des écarts entre la valeur calculée et la valeur observée pour chaque couple (x,y). On remarque facilement que plus un écart est grand, plus il est rare.
Une fonction admet un minimum si sa dérivée s'annule.
On écrit que les dérivées partielles en a, b et c s'annulent, "partielles" en vertu du principe de l'indépendance des écarts, en termes mathématiques plus rigoureux, on néglige les infiniment petits de second ordre.
On obtient donc un système de 3 équations à 3 inconnues qu'il suffit de résoudre.
Les 3 inconnues, sont les paramètres de la fonction de départ la plus probable, c'est à dire celle qui donne une somme de carrés des écarts minimale.
xxxxxxxxxx Attaque ad hominem xxxxxxxxxxxx
Quel sens mathématique a cette phrase ?
Sur l'exemple traité, les écarts
-547.4103730
1411.896562
-1906.735325
-2118.414742
7985.523239
-4824.859362
Bêtement, je dirais que les écarts sont distincts deux à deux, ils sont donc aussi "rares" les uns que les autres...
Que veux-tu dire ?
Ceci est archi-faux, tout élève de 1ère S le sait... Il y a des liens entre extremum et dérivée nulle, mais il faut y mettre les bonnes hypothèses.
Si quelqu'un y comprend quelque chose, je veux bien qu'il m'explique...
L'expression "la fonction de départ la plus probable" n'a aucun sens...
Dernière modification par Médiat ; 13/07/2012 à 17h52.
@léon,
Je pensais que tu aurais trouvé tout seul pourquoi la fonction doit être monotone dans l'intervalle considéré, c'est pour que la régression soit biunivoque, sinon ça n'a pas vraiment de sens.
Dans le cas de la question présente, il semble bien qu'il ne s'agisse pas d'un exercice scolaire, alors appliquons les méthodes qui se pratiquent dans la réalité.
Dans le cas ou tu estimes que je dis des choses que tu ne comprends pas, ou que que tu ne connais pas, évite de dire que c'est "archi-faux", ou que ça n'a aucun sens, ou alors prouve-le, mais au moins écris ce que j'aurais du dire.
Concernant la liste des écarts que tu as calculé, il s'agit probablement des 6 premier couples de la liste, autrement dit, indépendamment des autres ils n'ont aucun intérêt particulier. Par ailleurs, ce n'est pas de ma faute si tu ne sais pas que les écarts les plus importants sont les plus rares.
Depuis quand impose-t-on que le résultat soit biunivoque ?
Oui, les méthodes qui se pratiquent dans la réalité... c'est-à-dire ? Celles que tu ne veux pas montrer ?
xxxxxxxxxx Attaque ad hominem xxxxxxxxxxxx
Tu dis << Une fonction admet un minimum si sa dérivée s'annule.>> Je réponds "archi-faux" et tu n'es pas capable de trouver un contre-exemple tout seul... En voici un, très très compliqué : la fonction
Ben, je ne vois que 6 couples donnés : tu en vois d'autres où ??
De quel autres écarts parles-tu ?
xxxxxxxxxx Attaque ad hominem xxxxxxxxxxxx
Dernière modification par Médiat ; 13/07/2012 à 17h54.
Merci d'arrêter immédiatement les guéguères de cours de récréation, et de faire des mathématiques, exclusivement, et en donnant des références pour tous les théorèmes cités !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour.
Wow, je vois que ma question n'a pas de réponse simple et claire.
Quelques infos:
- je gère un projet informatique sur lequel je boss avec un pot qui développe (moi j'écris les spécifications techniques).
- nous devons calculer l'équation d'une courbe de tendance à partir de plusieurs centaines de milliers de points (notre base compte aujourd'hui 800.000 points).
- dans les premières maquettes, j'ai utilisé simplement Excel, et la courbe de tendance logarithmique de degrés 2 correspondait pas mal que je souhaitais.
- la courbe sera toujours linéaire, ce sont des points qui représentent des grandeurs physiques et il n'y a aucune raison que la tendance s'inverse
leon1789, je vais communiquer ton calcul à mon collègue qui devra la traduire en SQL... je pense que c'est mort d'avance!
Si si, la situation est simple et classique.
Ne pas se fier à la discussion qui a tourné au vinaigre pour des raisons annexes. Maintenant, ce problème annexe est réglé...
Quand tu dis que la courbe sera toujours linéaire, tu penses bien à quelque chose du type
Si c'est le cas, il y a des formules classiques que l'on peut appliquer quel que soit le (grand) nombre de points : voir tout document parlant de régression linéaire.
Mais alors, pourquoi demandais-tu une formule avec un polynôme de degré 2 ?
Quand tu dis que la courbe sera toujours linéaire, tu penses bien à quelque chose du type
Si c'est le cas, il y a des formules classiques que l'on peut appliquer quel que soit le (grand) nombre de points : voir tout document parlant de régression linéaire.
Mais alors, pourquoi demandais-tu une formule avec un polynôme de degré 2 ?
Pour être que qu'on se comprenne je vais y aller avec du vocabulaire basique car j'ai peut être pas les bons mots pour décrire ce à quoi je pense.
Quand je disais que la courbe serait linéaire, c'est qu'elle irait toujours d'en haut à gauche à en bas droite sans changer de tendance.
Et la courbe aura en principe toujours la même "forme" que sur l'image que j'ai attaché qui correspond à mon cas.
J'ai demandé un polynôme de degré 2 simplement parce que c'est ce que Excel propose et que ça correspondait au type de courbe que j'attendais.
Peut être qu'il y a plus simple. Je veux juste une courbe qui représente le poids des points.
Ok, la courbe recherchée est donc continue (je me traduis ton linéaire) et décroissante (allant haut gauche à bas droite).
Pour être que qu'on se comprenne je vais y aller avec du vocabulaire basique car j'ai peut être pas les bons mots pour décrire ce à quoi je pense.
Quand je disais que la courbe serait linéaire, c'est qu'elle irait toujours d'en haut à gauche à en bas droite sans changer de tendance.
Mais elle peut descendre plus ou moins vite du haut vers le bas, est-on d'accord ?
Sur ton dessin, tu as vu que la courbe rouge remonte un peu à droite.
ok.
Peut-être que les polynômes de degré 2 sont adaptés... Il faut voir les données. (6 points ne sont pas suffisants pour juger)
Mais comme tes données viennent de grandeurs physiques, il y a-t-il une loi théorique qui précise un (ou des) type(s) de fonctions que tu recherches ? Il y a-t-il des phénomènes physiques particuliers que l'on peut interpréter mathématiquement ? Cela peut aider à déterminer un type de courbes adaptées à la situation.
Malheureusement non, pas de théorème, si ce n'est que le bon sens veut que la courbe soit décroissante.
Ce sont des grandeurs physiques observées empiriquement que je cherche à modéliser.
Dans l'image précèdente, la courbe remonte en raison d'un nombre trop faible de données.
Dans 95% des cas, on aura assez de données pour que cela ne se produise pas.
Ici un graphique Excel avec 32.000 points qui devrait être plus représentatif.
La courbe de tendanance est une courbe de puissance, elle correspond très bien elle aussi.
Je ne suis pas très pointilleu, on en est aux premiers essais.
J'aimerai juste savoir comment Excel calcule l'équation de cette jolie courbe en fonction de mes points, de manière à le reproduire hors excel, avec des softs permettant de prendre en compte plus de données.
-1- Approximation de base aX+b (régression linéaire) :
On se donne des listes X (abscisse) et Y (ordonnées) contenant n valeurs chacune. On pose alors
Une approximation
-2- Approximation par puissance cX^d :
On se donne des listes X (abscisse) et Y (ordonnées) contenant n valeurs strictement positives chacune. On pose alors
X' = la liste des ln(X_i) (où ln = logarithme népérien)
Y' = la liste des ln(Y_i)
On applique la méthode 1 aux listes X' et Y' et on obtient deux coefficients a et b.
Une approximation
c = exp(b) (où exp = exponentielle)
d = a
Veux-tu un autre type d'approximation avec deux coefficients ?
Une approximation avec un polynôme de degré 2 est plus compliquée.
Bonjour à tous,
Je remonte la discussion
Je suis un particulier et je cherche la formule mathématique permettant de calculer une regression polynomiale de degré 2 ou regression quadratique (je n'ai pas besoin des degrés sup)
J'ai compris que cela s'ecrivait
y=ax+bx²+c
pour calculer le point y de cette courbe en fonction de la valeur x
Seul hic, je ne comprends pas du tout sur internet et le forum comment calculer les valeur a, b, et c
Merci d'avance cela me serait très utile
Et merci de me répondre comme un pseudo débile que je suis sur ce sujet
Et passez un joyeux noel
Albator
Dernière modification par albatorr ; 24/12/2014 à 11h36.
Bonjour,
personnellement pour ce genre de choses j'utilise QTIplot, il fait toutes sortes de régression avec une foultitude d'options, bref, très bien fait et rapide pour la manipulation de données.
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
1) tu écris la matrice X qui a n lignes (n est le nombre d'observations) et 3 colonnes : la première contient toujours 1, la deuxième les n valeurs de x et la troisième les n valeurs de x^2.
2) tu poses Y le vecteur des n valeurs de y
3) tu poses z = (c,a,b)
3) l'estimation des moindres carrés de z est Z = (X'X)^(-1)X'Y où X' est la matrice transposée de X
on trouve ça dans n'importe quel cours mais bon...
il y a d'autres choses à savoir sur la régression, mais si tu veux juste les estimations ponctuelles la formule ci-dessus suffit.
Merci pour vos réponses,
En fait j'aurai besoin des formules math des a, b et c, car je veux les programmer par la suite avec un logiciel de trading (Prorealtime en l'occurence)
Et ce logiciel ne sait pas calculer les vecteurs, matrices & co. Par contre je veux faire des sommes de différences, des carrés etc...
L'idée est de faire une regression polynomiale des n dernières valeurs des cours
Le language de programmation est assez proche du visual basic
Merci d'avance pour vos prochaines réponses
Albator
Un peu comme ce genre d'explication du calcul de a et b pour une droite de regression linéaire
Dernière modification par albatorr ; 24/12/2014 à 14h43.
malheureusement pour toi il n'y a pas de meilleure façon de faire que l'inversion de la matrice. Procure-toi un logiciel qui sait inverser des matrices, ou bien programme l'inversion toi-même (l'inversion d'une matrice ne requiert que des sommes, des produits et des divisions).
Ou alors tu peux utiliser un programme d'optimisation numérique. C'est un peu idiot puisqu'on a la solution exacte des moindres carrés mais il n'y a pas de raison pour que ça ne marche pas.
Merci minushabens
C'est bien ça le soucis. Je veux et peux le programmer mais j'aurai besoin de la formule mathématique
Autrement dit comment calculer manuellement et sans logiciel externe les coefficients a b et c ?
Merci d'avance et encore joyeux Noël
Albator
La formule t'a été donnée plus haut, je ne vois pas ce qui t'empêche de la programmer. Inverser une matrice 3x3 n'est pas difficile.
Lol
Bien sûr que si pour le commun des mortels dont je fais parti c'est difficile
Je ne sais même pas ce qu'est une matrice
Je suis vétos et mes connaissances math remonte à il y a 20 ans. Sniff... Y aurait il donc une formule mathématique simple explicable à un enfant pour calculer à b et c car pour moi c'est aussi abstrait que de vous demander de m'expliquer le mode d'action de l'oclacitinib
Encore merci d'avance et joyeux Noël à tous
Albator
Donc il faut que tu aprennes ce qu'est une matrice, ce qu'est la matrice transposée, comment on calcule le produit de deux matrices (dont l'une peut être un vecteur). Pour ça je pense qu'une petite consultation de wiki te suffira. Si tu ne comprends pas tu pourras toujours demander des explications ici.
pour l'inversion, on trouve pas mal de "tutorials", par exemple ici : http://www.wikihow.com/Inverse-a-3X3-Matrix
Bonjour,
Puisque Médiat (que je salue à cette occasion) demande très pertinemment que des références soient données...
Il n'y a que l'embarras du choix. On trouve cela dans tous les livres élémentaires de statistiques et sur les sites web de maths.
Parmis cette multitude, en voici deux aisément accessibles :
https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_regression
Auquels je me permets modestement d'ajouter celui-ci :
https://fr.scribd.com/doc/14819165/R...aire-spherique
Plus particulièrement pour répondre à la question initialement posée, voir §.4, pp.8-9.
Attention : L'ajustement d'une équation polynomiale est une régression linéaire (ne pas confondre équations linéaires ou non-linéaires avec régressions linéaires ou non linéaires ). On parle d'ajustement ou de régression linéaire lorsque l'équation considérée est linéaire relativement aux paramètres ajustables inclus dans l'équation. Peu importe si l'équation est une fonction non-linéaire des variables. Par exemple y(x)=a+b*x+c*x^2 est non-linéaire relativement à la variable x. Mais est linéaire relativement aux paramètres ajustables a,b,c. Il s'agit donc bien d'une régression linéaire pour faire l'ajustement.
Ce fil déterré est vieux de ... plus de neuf ans pour sa dernière intervention, et même plus de onze ans pour son lancement !
