Théorie de l'intégration

[invitea6f35777]

Bonjour,

En relisant le Rudin, je suis tombé sur la note de Lebesgue sur la généralisation de l'intégrale de Riemann. Il dit la chose suivante:

Dans le cas de fonctions continues, il y a identité entre les notions d'intégrale et de fonction primitive.

Jusque là ça va. Je sais comment démontrer qu'une fonction continue sur un segment est Riemann-intégrable et que la fonction définie par

avec est une primitive de .

Il dit aussi

Riemann a défini l'intégrale de certaines fonctions discontinues, mais toutes les fonctions dérivées ne sont pas intégrables, au sens de Riemann.

Pour ce qui est de l'intégrales de fonctions discontinues ça va. Je sais comment on définit l'intégrale de Riemann de fonctions continues par morceaux. Je sais aussi qu'une grande partie des fonctions continues par morceaux ne sont pas des fonctions dérivées (la démonstration n'est pas très difficile). Par contre je ne connais pas d'exemple de fonction dérivée qui n'est pas intégrable au sens de Riemann. Je connais des fonction intégrables au sens de Lebesgue qui ne sont pas intégrable au sens de Riemann mais ce ne sont pas des fonctions dérivées. Donc voici une première question: avez vous un exemple ?

Dans la suite il dit

Le problème de la recherche des fonctions primitives n'est donc pas résolu par l'intégration, et l'on peut désirer une définition de l'intégrale comprenant comme cas particulier celle de Riemann et permettant de résoudre le problème des fonctions primitives.

et Rudin rajoute comme note en bas de page:

Ces deux conditions imposées a priori à toute généralisation de l'intégrale sont évidemment compatibles, car toute fonction dérivée intégrable, au sens de Riemann, a pour intégrale une de ses fonctions primitives.

Autrement dit, il y a des fonctions qui admettent une primitive mais qui ne sont pas intégrables selon Riemann, mais pour celles qui sont intégrables selon Riemann, l'intégrale de Riemann donne bien une primitive. C'est tout à fait naturel comme affirmation mais

question: Est-ce que quelqu'un sait comment montrer que si est une fonction définie et primitivable sur un segment (telle qu'il existe définie et dérivable au sens classique sur telle que ) et qui est Riemann-intégrable alors

est une primitive de .

Bien entendu, on n'a pas le droit de supposer que est continue sinon c'est facile. Je pensais pouvoir retrouver la démonstration en exercice assez rapidement mais ce n'est pas si évident que ça
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[invite57a1e779]

Par contre je ne connais pas d'exemple de fonction dérivée qui n'est pas intégrable au sens de Riemann : avez vous un exemple ?

Bonjour,

La fonction définie sur par :



est dérivable, et sa dérivée n'est pas intégrable au sens de Riemann sur un intervalle contenant 0, car non bornée sur un tel intervalle.

[invitea6f35777]

Bonjour,

Merci beaucoup. En fait j'ai trouvé les réponses à mes autres questions dans un très beau cours de Jean Pierre Demailly sur l'intégrale de Kurzweil-Henstock disponible à l'adresse:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~...s/henstock.pdf
Intégrale qui est plus aboutie que l'intégrale de Lebesgue puisqu'elle résout justement le problème de la recherche de primitive par l'intégration ce que l'intégrale de Lebesgue ne fait pas: Toute fonction dérivée est KH-intégrable et leur intégrale donne une primitive. Cette magnifique intégrale a par ailleurs d'autres jolies propriétés et le fait que son formalisme soit un très léger raffinement de l'intégrale de Riemann en fait une bonne candidate pour remplacer l'intégrale de Riemann dans l'enseignement en classe prépa

[invite97d79020]

Bonjour, je déterre ce poste car je me posais la question suivante: y-a-til des généralisation de la KH-intégrale afin d'intégrer des fonctions définies sur avec la même efficience?

Merci d'avance pour vos réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]