Probabilité de fonctions d'une variable aléatoire

[Scorp]

Bonjour,

Si je prends X une variable suivant une loi normale N(0,1), on sait que la variable f(X) où f(x)=ax+b suit aussi une loi normale mais cette fois-ci N(b, a^2). Mais quand est-il pour des fonction f(x) plus compliquées. Sans forcément avoir la loi de répartition, peut-on au moins obtenir la moyenne et l'écart-type facilement.

Est ce que pour la moyenne j'ai le droit de faire : où P(x) serait ici ma loi de probabilité gaussienne ?

Mon cas particulier est celui-ci: j'ai 2 variables aléatoires indépendantes X1 et X2 suivant la même loi normale N(m,s^2) et j'aimerais trouver au moins la moyenne et l'écart-type de la variable aléatoire : Y=a.[cotan(b.X1)+cotan(b.X2] où a et b sont des réels fixés.
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[Arkhnor]

Bonjour,

Est ce que pour la moyenne j'ai le droit de faire : où P(x) serait ici ma loi de probabilité gaussienne ?

C'est très mal formulé. Qui est dans le terme ?

La vraie formule est si est une variable continue, de densité de proba donnée par . C'est le théorème du transfert.

[Scorp]

ok merci

Par conséquent dans mon cas avec f(x)=a.cotan(b.x), cette expression me semble impossible à calculer (ok si j'avais un cos() ou sin(), mais avec cot() je ne m'en sors pas). Par contre, est-il possible de faire un raisonnement comme suit (veuillez m'excuser s'il y a des choses mal posées encore, pour le moment je cherche vraiment à raisonner, je verrai comment écrire ca proprement ensuite...) :

Ma variable X suit une loi normale de moyenne m. Physiquement, il est évident (dans mon cas) que les variations seront très faibles atour de cette moyenne, donc est ce que j'ai le droit de poser une variable aléatoire telle que où epsilon<<m suit une loi N(0, s^2). Puis-je ensuite Tayloriser ma fonction f() au premier ordre en epsilon :


Et enfin pourvoir calculer mon intégrale qui doit pouvoir se calculer cette fois, ou même pouvoir dire directement que suit une loi normale N(me, se^2) avec me=a.cotan(b.m) et se^2=a.b.(s^2) ?

[Tryss]

Vous ne pouvez pas dire ça puisque c'est faux.

A la limite, et si les valeurs de m, s et b sont suffisamment "bonnes", vous pouvez dire que l'on peut l'approcher par une loi normale, mais ça ne suit pas une loi normale.

Par exemple si m = 0, il me parait difficile d'utiliser Taylor

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scorp]

Bonjour et merci Tryss,
C'est pour ca que j'avais préciser "dans mon cas les variations sont très faibles autour de la moyenne (epsilon << m)" ... je ne cherche pas un cas général mathématiques, mais un raisonnement mathématiques lié à mon problème physique : m=0 n'a pas de sens physiquement dans mon cas, epsilon<<m par contre si (si tu prends m=0 comme tu dis, cette inégalité n'a même pas de sens ... heu, epsilon est positif au fait dans mon cas, c'est peut être ce qui te génait ?) ! Ma question était donc, dans ce contexte, est ce que le raisonnement est valide.
Idem, je ne suis pas trop d'accord avec "vous pouvez dire que l'on peut l'approcher par une loi normale, mais ça ne suit pas une loi normale.
" : Je parlais dans ma phrase de "a.cotan(b.m)-a.b.epsilon ! Pour moi, ca suit bien une loi normale non ? Par contre, je dirais effectivement que a.cotan(b.X) ne peut être que approché par une loi normale... ou est ce que je me trompe complètement là.

Mais merci de ton aide. Pourrais tu expliciter un peu plus le "et si les valeurs de m, s et b sont suffisamment bonnes", ca me semble important ! surtout si je dois ensuite formaliser tout ca correctement. Pour info, dans mon cas, epsilon<<m, b et complexe mais non nul.

[toothpick-charlie]

regarde : http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

[Dlzlogic]

Bonjour,
Est-ce qu'il s'agit d'un calcul d'erreur (de précision) ?
J'ai pas très bien compris ce que vient faire ces variables aléatoires.
Si c'est un calcul d'erreur, il y a 2 principes à appliquer
1- l'indépendance des erreurs
2- les erreurs accidentelles (ie aléatoires) se combinent (et non pas se cumulent) quadratiquement.
Pour simplifier, si les 2 écarts-typs (emq) sont les mêmes, l'écart type sur la somme, le résultat Y, sera emq * sqrt(2)