Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4
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Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4



  1. #1
    invite631cf215

    Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4


    ------

    Bonjour je suis a la recherche d'une démonstration pour une propriété que notre professeur de mathématiques nous a donné en cours sans l'avoir démontré , et je ne vois pas comment m'y prendre, si vous pouviez me donner des indications .

    On doit calculer l'esperance dans le cadre d'une loi normale centrée réduite de la variable aléatoire X^4

    Donc ce qui revient à calculer : l'intégrale de (- l'infini à + l'infini ) de X^(4) x exp( - X^(2) / 2)

    Merci !

    Il nous dit que le résultat donne 3

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Bonjour,

    Il suffit de deux intégrations par parties pour se ramener à l'intégrale de Gauss :


  3. #3
    invite631cf215

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Et moi je tombe sur 4 ...

  4. #4
    invite631cf215

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Oki oki je crois avoir compris ma faute :! MERCI

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite631cf215

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Par contre pour moi la derniere ligné équivaut a 3 racine de 2Pi ... puisque l'integrale de exp ( -x2/2 ) est censée etre egale a racine de 2 pi non ?

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Oui, mais la densité de la loi normale centrée réduite est , pas .

    Il y a donc un facteur supplémentaire pour calculer l'espérance :


  8. #7
    invite631cf215

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    non en fait c'est parce que j'avais oublié le coefficient ... 1/racine de 2 pi ... pour la loi normale !
    Merci beaucoup !

  9. #8
    invite631cf215

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    Ah ben j'ai vu ma faute en meme temps que vous m'avez répondu . merci beaucoup : pff:

  10. #9
    invite06b993d0

    Re : Espérance d'une variable aléatoire a la puissance 4

    sinon, si tu n'aimes pas les intégrales, tu peux dériver 4 fois la fonction génératrice des moments, qui vaut dans le cas le la loi normale standard e^(t^2/2). C'est un peu laborieux mais on arrive aussi à 3 (il faut prendre la dérivée en zéro)

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