Développement de taylor

[invitec143ebb7]

Bonjour,

Je prépare un examen de " fonctions de plusieurs variables" et je suis bloqué à l'exercice suivant :

"soit C inclus dans R^2 le carré C =[0,pi]x[0,pi]. Considérons la fonction f:C->R, (x,y)->cos(x).cos(y)

A) calculer le dvlpment de taylor de f dans le point ( pi/2,pi/2). S'agit- il d'un point critique? Si oui, quelle est sa
Nature?

Pour commencer je calcule le gradiant de f en ( pi/2,pi/2) et je trouve (0,0). C'est donc bien un point critique et
en calculant la matrice hessienne je trouve qu'il s'agit d'un point selle.
Ce qui correspond à la réponse du corrigé ( il n'y a que les réponses sans détails ).
Ensuite le corrigé dit que le polynôme de taylor est P( x,y ) = (x-pi/2)(y-pi/2), résultat que je n'arrive pas à
trouver.

En appliquant cette formule du cours : f(X+H) = f(X) + gradiant de f(X) .H + 1/2 H transposée . Hessienne(x₀,y₀)H

Où H= ( h1,h2) et X=( pi/2,pi/2)


J'ai tout essayé mais je n'arrive pas à trouver et comprendre ce résultat. De plus je ne fait pas bien la différence entre polynome de taylor et développement de taylor l'un apparaissant dans l'énnoncé et l'autre dans le corrigé.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide.
À bientôt!
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[invite899aa2b3]

C'est le polynôme de Taylor à quel ordre que l'on demande ?

Le polynôme de Taylor, c'est un polynôme qui est censé approcher la fonction localement (c'est juste un polynôme), alors qu'un développement de Taylor fait apparaître l'erreur.

[invitec143ebb7]

Rebonjour,

Dsl pour ma réponse tardive.

L'orde n'est pas précisé et il me semble que dans ce cas on néglige ce qui suit la formule que j'ai écrite dans le sujet, c'est à dire, + Module de H au carré x epsilone(h). On se limite donc à cette formule.

J'ai peut être fait une erreur de calcul mais je l'ai tourné dans tous les sens et je ne trouve pas le résultat du corrigé.

Merci!

[invite57a1e779]

En appliquant cette formule du cours : f(X+H) = f(X) + gradiant de f(X) .H + 1/2 H transposée . Hessienne(x₀,y₀)H

Où H= ( h1,h2) et X=( pi/2,pi/2)

Bonjour,

Comme et son gradient s'annulent en , la formule d'approximation au second ordre se réduit au terme de la hessienne.

Au point , la hessienne est et l'approximation est :



avec .

Si l'on revient aux notations , c'est-à-dire , on retrouve bien l'approximation par le polynôme :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec143ebb7]

Merci pour votre réponse!

Je comprend tout sauf à partir de " si l'on revient aux notations..."
Pourquoi est- ce que X+H =(x,y)?
Du coup je ne comprend pas la suite....

Merci!

[invite57a1e779]

Parce qu'on veut approcher f(x,y), mais on a une formule en f(X+H), il faut donc prendre H tel que : X+H=(x,y).