développement de taylor

[invited7a3cee1]

bonjour,
j'ai une petite question à vous poser :

imaginons l'équation suivante (obtenue à partir du théorème de la résultante dynamique, projetée sur un axe (Oy))

μ * dx * (d²y/dt²) = T(x+dx,t) * θ(x+dx,t) - T(x,t) * θ(x,t) (1)


1er calcul : en faisant un développement de taylor à l'ordre 1 par rapport à T et à θ, on obtient :

μ * dx * (d²y/dt²) = (T(x,t)+dx*(dT(x,t)/dx)) * (θ(x,t)+dx(dθ(x,t)/dx)) - T(x,t) * θ(x,t)

donc en développant et simplifiant en ne gardant que les termes d'ordre 1,
μ * dx * (d²y/dt²) = dx * (dT(x,t)/dx) * θ(x,t) + dx * (dθ(x,t)/dx) * T(x,t)


2eme calcul :
reprenons l'équation (1)
μ * dx * (d²y/dt²) = T(x+dx,t) * θ(x+dx,t) - T(x,t) * θ(x,t)
mais cette fois effectuons un développement de taylor à l'ordre un uniquement par rapport à T :

μ * dx * (d²y/dt²) = (T(x,t)+dx(dT(x,t)/dx)) * θ(x+dx,t) - T(x,t) * θ(x,t)

soit en factorisant par T(x,t) et en éliminant le terme d'ordre 2,

μ * dx * (d²y/dt²) = T(x,t) * (θ(x+dx,t) - θ(x,t))

en effectuant un développement de taylor par rapport à θ et en simplifiant on trouve :

μ * dx * (d²y/dt²) = T(x,t) * dx * (dθ(x,t)/dx)


Les deux résultats sont différents, dans le premier il y a un terme en plus. Sachant que le bon résultat est le second pouvez-vous me dire ce qui ne va pas dans le premier calcul s'il vous plait car je ne vois pas. Merci beaucoup

ps : les dérivées entre parenthèses sont des dérivées partielles mais je ne savais pas comment écrire les "d ronds".
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[invite15928b85]

Bonjour.

Vous êtes certain que le bon résultat est le deuxième ?

Dans le 2ème calcul, vous éliminez un terme prétendument d'ordre 2 avec beaucoup de légèreté, je trouve.

A défaut d'information sur le contexte dans lequel vous faites cela, il est difficile de vous répondre avec certitude.

[invited7a3cee1]

Merci de votre réponse,
effectivement dans le deuxième calcul, ce n'était pas une élimination du terme d'ordre 2 (qui n'était pas légitime et fausse comme vous l'avez dit) qui permettait de faire la suite mais une factorisation par T(x,t) qui est en fait égale à T(x+dx,t) (ce qu'on a obtenu dans un résultat précédant l'équation). Et de ce fait on obtient bien un seul terme à la fin puisque grâce à l'égalité T(x,t)=T(x+dx,t) un des deux termes dans le premier calcul est égal à 0 et on retombe bien sur le même résultat.
C'est vrai que j'aurais dû vous préciser d'avantage le contexte, désolé.

Encore merci