espérance Carré d'une variable

[invite9ef8fdb5]

Hello tous le monde,

j'ai une question:
X est une variable aléatoire, l'on sait seulement:

E[X]=15
var[X]=3


Y=a +bX+cX²

On cherche E[Y] et Var[Y] en fonction de a,b,c.

A priori, ça ne me semble pas faisable car E[X²] doit être différent de (E[X])².

A priori pour calculer le carré de l'espérance, j'aurais cherché un truc comme:



or l'on sait que:



d'où:





Mais je n'arrive pas à grand chose sans la fonction de densité de X.

La suite de l'exercice suggère une grosse astuce, plutôt qu'une intégration sauvage.

quelqu'un aurait-l une idée?


Krokodiloff.
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[God's Breath]

A priori, ça ne me semble pas faisable car E[X²] doit être différent de (E[X])².

N'y a-t-il pas une relation entre , et ?

[invite986312212]

... une relation appelée théorème d'Huyghens.

[invite9ef8fdb5]

hum, hum...

j'ai un petit peu honte,

effectivement la relation de Koenig, ça marche bien.

merci God's Breath et ambrosio.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ef8fdb5]

Je sens que je vais encore passer pour une flèche...

Mais je ne trouve pas V(X²) nécessaire pour calculer V(Y).

En reprenant les formules Var/Covariance, je tourne en rond.



et

et

on arrive:




Ce qui me laisse trop d'inconnues:

La suite de l'exercice demande les conditions pour lesquelles, V(Y) peut être calculée, ce qui suggère indéterminations possibles, genre fractions.

Je ne pense pas que la solution soit quelque chose de très compliquée, mais plutôt quelque chose de basic comme le truc d'hier.
Mais je ne vois vraiment pas quoi.


Krokodiloff.

[invite986312212]

salut,

effectivement il te manque des informations pour calculer la variance de Y. Si la loi de X est symétrique, tu as cov(X,X^2)=0 ce qui simplifie un peu le problème, mais il reste E(X^4) comme inconnue.

[invite9ef8fdb5]

Bonsoir,

merci pour de ta suggestion mais l'énoncé fait état d'une variable quelconque. Donc, je ne peux pas poser cov(X,X²)=0.

Pourtant, je pense que la chose est une grosse astuce, plus qu'un système subtile.

Est-ce que ça vous intéresse de voir la question d'après?
Peut-être qu'il y a quelque chose que je n'ai pas vu et qui peut vous mettre sur la voie.

@+

Krokodiloff

[invite986312212]

oui je veux bien voir la question d'après. Au fait hier je me suis trompé: c'est X symmétrique et de moyenne nulle qui fait cov(X,X^2)=0.

[invite9ef8fdb5]

Salut,

j'attache tout le document,
c'est de l'exercice 2 qu'il s'agit, question 1) b).

Merci.

@+

Krokodiloff.

[ericcc]

Tu peux calculer V(X²) quand E(X^4) est nul. Prends cela comme condition, et tout devient plus simple

[invite986312212]

pour moi la réponse à 1b est qu'en l'absence d'information sur la loi de X1, le calcul n'est possible que si c=0. Bien sûr, si tu sais que X1 suit la loi normale par exemple, qui est uniquement déterminée par ses deux premiers moments, tu peux avoir c quelconque.

[invite9ef8fdb5]

Merci pour vos réponses,

je m'étonne néanmoins de ce que la réponse attendue soit un truc aussi peu conventionnel que c=0 ou nécessite de poser une hypothèse aussi conservatrice que la normalité de X.

Juste pour savoir, si on suppose que X suit une loi normale, pour calculer , il faut calculer:



où il existe une astuce plus rapide?

[invite986312212]

oui: passer par la fonction caractéristique.

[invite9ef8fdb5]

Je ne sais pas comment marche la fonction caractéristique, en revanche, j'ai trouvé un bon tutos sur un la fonction génératrice de moment.

on dérive 4 fois



et ensuite, on fixe t=0.

C'est bien ça? Pour se servir de la fonction caractéristique, on suit la même démarche (quatre dérivation et t=0)?

@+

Krokodiloff.

P.S: je demeure convaincu qu'il y a soit une erreur dans l'énoncé soit une astuce. Toutefois, ça a été l'occasion pour moi de découvrir les fonctions génératrices et caractéristiques qui sont, ma foi bien pratique.