Système nonlinéaire 4 éq i ( 1,3,5,7 ) de forme ai=k1x1^i+k2x2^i

invite01e0f157 · 08/08/2012, 16h54

Comment faire pour résoudre le système suivant ou k1 k2 x1 x2 sont inconnus et à trouver :
k1*x1^1+k2*x2^1=a1
k1*x1^3+k2*x2^3=a2
k1*x1^5+k2*x2^5=a3
k1*x1^7+k2*x2^7=a4
Je sais que la méthode consiste à associer les équations à extraire des produits et sommes de x1^2 et x2^2 soit x1^2*x2^2 et x1^2 +x2^2 quand on a 1 2 3 4 au lieu de 1 3 5 7, puis de résoudre l'équation du second degré d'inconnue x^2. Mais comment faire ici?
Merci de votre aide car c'est très important

invite57a1e779 · 08/08/2012, 17h19

Une méthode consiste à dire que les systèmes homogènes d'inconnues $(X,Y,Z)$ :

$\begin{cases} x_1 X+x_2 Y+a_1 Z=0 \\ x_1^3 X+x_2^3 Y+a_2 Z=0 \\ x_1^5 X+x_2^5 Y+a_3 Z=0 \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} x_1 X+x_2 Y+a_1 Z=0 \\ x_1^3 X+x_2^3 Y+a_2 Z=0 \\ x_1^7 X+x_2^7 Y+a_4 Z=0 \end{cases}$

admettent la solution non triviale $(k_1,k_2,-1)$ et sont donc de déterminants nuls, ce qui fournit deux équations aux inconnues $(x_1,x_2)$ :

$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & a_1 \\ x_1^3 & x_2^3 & a_2 \\ x_1^5 & x_2^5 & a_3 \end{vmatrix} = 0 \quad \text{et} \quad \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & a_1 \\ x_1^3 & x_2^3 & a_2 \\ x_1^7 & x_2^7 & a_4 \end{vmatrix} = 0.$

Il suffit ensuite de résoudre un système linéaire pour calculer $(k_1,k_2)$ .

invite01e0f157 · 08/08/2012, 17h40

je vais essayer merci pour ton aide

invite01e0f157 · 08/08/2012, 18h11

J'ai essayé c'est la bonne piste à ceci près qu'il faut prendre les déterminants des 3 premières équations 1 2 3 ( exposants 1 3 5 ) puis des 3 suivantes 2 3 4 ( exposants 3 5 7 ) pour ne pas casser l homogénéité et obtenor 2 équations :
en posant P= x1^2*x2^2 et S= x1^2+x2^2
a1*P^2-a2*S+a3=0
a2*P^2-a3*S+a4=0
d'où P^2 et S
puis P et S
puis x^2-S*X+P=0
d'où x1^2 et x2^2
d'où X1 et X2 dans {C}
j'aimerais bien qu'on échange plus ensemble sur les maths

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite01e0f157 · 08/08/2012, 18h16

excuses étourderie il n'y apas de P^2 on adirect une combinaison linéaire de P et S( supprimer donc le^2 après P )

invite57a1e779 · 08/08/2012, 20h41

On obtient effectivement $P= x_1^2x_2^2$ et $S=x_1^2+x_2^2$ en résolvant le système linéaire :
$\begin{cases} a_2S-a_1P=a_3 \\ a_3S-a_2P=a_4 \end{cases}$
mais il peut également y avoir des solutions avec $x_1$ ou $x_2$ nul ou encore des solutions avec $x_1=x_2$ ou $x_1=-x_2$ .

La discussion de tous les cas possibles suivant les valeurs de $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ est assez fastidieuse.

invite01e0f157 · 09/08/2012, 08h32

Je soumets le même problème avec x1 x2 x3 k1 k2 k3 et a1 à a5 . Il s'agit maintenant de trouver 3 équations en S, D, P ( D somme des doubles produits ) puis d'en tirer S,D,P et pour résoudre l'équation X^3-S*X^2+D*X^1+P=0 et trouver ainsi X1 X2 X3. Puis généralisation à n variables x et n variable k

invite01e0f157 · 09/08/2012, 08h34

correction :ajouter a6 pour disposer de 3 déterminants et donc de 3 équations pour 3 inconnues S,D,P

invite01e0f157 · 12/08/2012, 17h58

Bonjour
Une question avec quel logiciel écrivez vous les formules mathématiques
Merci

Système nonlinéaire 4 éq i ( 1,3,5,7 ) de forme ai=k1x1^i+k2x2^i