Qu'est ce qu'un espace vectoriel ?

[invite15d681e0]

Bonjour a tous, je travaille actuellement le programme d'algèbre de MPSI (Licence physique premiere année) et j'étudie les espaces vectoriels. J'ai lu et décortiqué la leçon qui est proposée sur wikiversité mais je n'y ai pas compris grand chose. J'ai aussi essayé de faire les exercices qui sont proposé mais je n'y arrive pas je comprend pas comment il faut faire.

Comment déterminer si un ensemble est un ensemble vectoriel, comment déterminer si un sous ensemble d'un ensemble est sous ensemble vectoriel de cet ensemble? Et pour finir quel est l'objectif de cette leçon ?


Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tout d'abord, il faut savoir que les propriétés purement algébriques (calculs) des vecteurs du plan ou des vecteurs de l'espace se retrouvent dans de très nombreuses situations. Au dix-neuvième siècle, on s'est aperçu qu'on pouvait généraliser de nombreux calculs apparemment différents, mais au fond les mêmes en une seule notion (les espaces linéaires - le mot est resté en anglais, les français disent "vectoriels").
Donc cette notion est fondamentale, et tu la rencontreras dans tous les domaines scientifiques (maths, physique, biologie, chimie, ...) et même en économie.

Pour faire les exercices, il te faut te contenter d'appliquer strictement les définitions. Et ça part mal :
"Comment déterminer si un ensemble est un ensemble vectoriel" ??? C'est quoi, un ensemble vectoriel ? Moi, je ne connais pas !
Par contre "Comment déterminer si un triplet (E, T,V) est un espace vectoriel" a un sens, car la définition d'un espace vectoriel est "(E,T,V) est une espace vectoriel sur le corps k si ..." (tu n'as peut-être pas les notation T et V dans ta définition, mais la question n'est pas une question de nom des notations, mais ce qu'elles symbolisent; par exemple une loi de composition interne pour T).
Mais au fait, sais-tu ce qu'est un corps ? Une loi de composition ? Une loi de composition interne ?

Donc potasse ces questions, revois très exactement ce que sont les mots et leurs significations (directes - en maths, les mots ne signifient que leur définition), et reviens poser des questions, on t'aidera à avancer.

Cordialement.

[invite15d681e0]

Pour commencer, je rectifie une erreur que j'ai faite dans ma premiere intervention, j'ai confondu espace vectoriel avec ensemble vectoriel.

Je pense que mon problème vient de la compréhension du languague et de la syntaxe mathématique.

De plus, que signifient les termes opérations interne et externe, qu'est ce qu'une application linéaire. Et quel sont les rapports avec les espaces vectoriels ?

Merci d'avance et désolé pour mon manque de précision dans mes questions.

[Bruno]

Tu devrais aller chercher un cours d'algèbre linéaire, pas mal de professeurs mettent une version PDF de leurs notes en ligne dont certaines sont recensées dans http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html. Wikiversité c'est bien gentil mais tu ne comprendras rien en allant chercher des bribes de théorie sur des sites qui utilisent chacun leur propres notations et, pire, leur propre vocabulaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Pour une application linéaire, tu as la définition. Elle dit de façon parfaitement précise que c'est une application (tu connais le sens mathématique précis de ce mot ?) entre deux ensembles qui sont le premier élément d'un espace vectoriel chacun (pour simplifier, on dit "entre deux espaces vectoriels") et qui respecte les opérations.

Opération interne, ou loi de composition interne (LCI) : Calcul qui à deux éléments d'un ensemble en associe un troisème. Plus précisément, T est une LCI sur l'ensemble E si T est une application de ExE dans E. Plutôt que de noter T(x,y) l'image de (x,y), on la note xTy.
Par exemple l'addition sur lR, ou la multiplication, ou même l'exponentiation x^y. Ou encore le produit vectoriel pour l'ensemble des vecteurs de l'espace.
Opération externe, ou loi de composition externe : Application de ExF dans G (E et F peuvent être confondus, ou E et G, ou F et G, mais ce n'est pas trois fois le même), notée comme une opération. Par exemple le produit scalaire, ou le produit d'un vecteur du plan par un réel.

"Et quel sont les rapports avec les espaces vectoriels ? " Bizarre que tu poses cette question ! Je croyais que tu avais au moins lu la définition d'un espace vectoriel.

En bilan :

On peut répondre à tes questions si ce ne sont pas des questions "en l'air", comme celle-ci : Si tu as vraiment réfléchi, cherché à comprendre les définitions. mais si tu crois comprendre en posant des question de mots tu déchanteras vite. Et nous, on se lassera.

Cordialement.

NB : Suis le conseil de Bruno.

[gg0]

Pour t'aider, deux exemples d'espaces vectoriels réels (donc sur ) :

1) Un EV très utilisé : On note C₀₁ l'ensemble des fonctions numériques définies et continues sur [0;1] (la notation C₀₁ est de moi). On définit la loi de composition interne notée + ainsi : si f et g sont des éléments de C₀₁, alors ; et la loi de composition externe notée . par : si f est un élément de C₀₁ et k est un réel, alors . (C₀₁,+,.) est un espace vectoriel sur . A toi de voir comment la définition que tu trouveras sur un cours sérieux s'applique effectivement.

2) Un cas plus simple mais moins évident, car trop simple : est un espace vectoriel sur .

Autrement dit, d'un certain point de vue, il y a des choses communes dans les calculs qu'on fait sur les fonction et sur les nombres. C'est d'ailleurs ce qu'on manifeste en prenant la même notation pour la loi interne. Mais le + des fonctions n'est pas du tout l'addition des nombresN

Cordialement.

[gg0]

Je viens de regarder wikiversité. Ce n'est pas là que tu apprendras et comprendras de quoi il est question. Quel fouillis !
Par exemple, à part une allusion, nulle part il est dit que le mot vecteur désigne un élément de l'ensemble sur lequel est défini l'espace vectoriel. Donc qu'il ne s'agit pas de vecteurs du plan et de l'espace. Qu’on se contente de retrouver les structures de calcul qu'on avait avec les vecteurs du plan ou de l'espace, mais avec des objets différents (nombres, couples, suites, ...).
Pour commencer, tu devrais lire un cours un peu didactique , par exemple http://mathsv.univ-lyon1.fr/cours/pd...e/al1_tout.pdf, qui démarre bien (je n'ai pas tout lu, mais ça paraît vouloir faire simple).

Cordialement.

[Bruno]

En effet, à chaque fois que je suis allé voir sur Wikiversité pour comprendre quelque chose j'y suis pas resté longtemps: c'était soit beaucoup trop incomplet, soit un amas de notations immondes sans aucune structure. Je ne sais pas qui as écrit ça mais ceux-là n'ont clairement jamais enseigné. Finalement rien ne vaut un véritable cours d'amphi (ou un bon bouquin si on veut dépenser de l'argent).