Un doute sur la Dérivée comme limite

[invite01e0f157]

Bonjour chers internautes et animateurs du site
Voilà : on m'a toujours dit que la dérivée de f(x) par rapport à x était la limite quand dx tend vers zéro de df/dx ; et que c'était la pente de la tangente à la courbe y=f(x). Ok
J'étudie les variations successsives d'une fonction échantillonnée;
y1-y0, y1-2*y2+y1, y2-3*y2+3*y1-y0, etc
et je me demande quelle set la relation entre ces variations successives et le sdérivées successives.
je prend une fonction au hasard y=x^2 ; y'= 2*x et y"=2
or dy/dx=(y1-y0)/(x1-x0)=x quelque soit dx aussi petit qu'il soit et non 2*x
J'en perds mon latin mathématique. Où ai-je fait une erreur de noation ou de raisonnement ? Qui peut m'éclairer et m'expliquer svp ? Je cherche surtout la relation entre
dy/dx(0) et x1-x0. Merci à tous et à toutes et bonnes vacances
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[invite01e0f157]

errata: et (y1-y0)/(x1-x0) à la fin du sujet merci

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour la fonction :



et à la limite :

[invite64f0e913]

Si j'ai bien compris tu cherches à obtenir un "schéma aux différences finies", c'est bien ça ? Pour la dérivée première c'est simple :


pour les suivantes, jette un petit coup d'oeil ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...9rences_finies

grâce à cette méthode, on peut notamment calculer une approximation de la dérivée seconde sans passer par la dérivée première :



si tu as besoin de calculer une approximation de la dérivée n-ième, tu écris ton développement en série de taylor jusqu'à la dérivée n-ième désirée, et tu fais de même pour tout celles d'ordre inférieur pour les exprimer sous la forme de terme , n étant un entier relatif.

As-tu besoin de plus de précisions ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite01e0f157]

Bonjour je pense qu'il y a un mélange entre les expressions suivantes :
celles qui ne tiennent compte que des valeurs suivantes de x=0 ou du x considéré ( cas ou les précédentes sont inconnues ou inexistantes ), daccord alors sur la formule 1 de la dérivée , la dérivée seconde étant égale à la limite de (f(x+2h)-2f(x+h)+f(x))/ h2 et ainsi de suite
et celles qui tiennent uniquement compte des valeurs précédentes connues et suivantes de x=0 ou du x considéré , alors la deuxième formule est exacte pour la dérivée seconde mais la dérivée première est alors (f(x+h)-f(x-h))/2h.
Dans les deux cas et grâce à toi j'ai pu trouver les différentes expression ssuccessives de dérivées d'ordre supérieur et ceci dans les deux cas de figure. Merci

[invite64f0e913]

je pense qu'il y a un mélange entre les expressions suivantes :
- celles qui ne tiennent compte que des valeurs suivantes de x=0 ou du x considéré [...]
- celles qui tiennent uniquement compte des valeurs précédentes connues et suivantes de x=0 ou du x considéré

Oui pourquoi pas. Mais ce qu'il faut bien comprendre, c'est que chaque schéma a ses avantages et ses inconvénients.
Tu peux par exemple avoir un schéma rapide, mais instable / un schéma lent mais stable. On parle souvent de schéma explicite et implicite. Parfois la convergence dépend du pas, parfois non. Bref c'est tout une histoire.

Deuxième chose : il est possible de créer un nombre infini de schéma, (un -schéma par exemple). Il s'agit simplement de choisir le meilleur (stable et rapide). Tout ça dans le but de résoudre des équations différentielles de manière numérique.

[invite01e0f157]

Bonjour ok Je connais le problème du pas mais ce dont je parle n'a rien avoir avec . Je vais voir les téta schémas car je ne connais pas . as tu un site clair là dessus , merci egghead

[invite64f0e913]

Tiens carrément un cours (bien fait) :
http://math.univ-lyon1.fr/~caldero/Bouvier.pdf (de Mr Bouvier, prof de maths à l'université de Lyon)

Pour le thêta-schéma regardez à la fin de la page 26.
Je vous ai cité ça comme j'aurais pu citer autre choses, mais en gros c'est juste un mélange de la formule des rectangles à gauche et à droite. Les proportions étant fixées grâce au paramètre .
Cela peut permettre de maximiser la vitesse de convergence en fonction de la précision.

Que cherchez vous à faire au final ? Calculer une intégrale ? trouver une solution numérique d'une équa diff ? Quasiment tout est dans le cours...

[invite01e0f157]

Je fait en fait une recherche d'antériorité. Savoir si on a déjà réfléchi au phénomène suivant :
Combien de mathématiciens passent allègrement de la formule de l'approximation de la dérivée du premier ordre ( et de celles d'ordre supérieir aussi ), de celles qui d'une part ne font intervenir que les données à droite ( ex dérivée 1ère : lim (f(x+h)-f(x))/h, 2ème : lim (f(x+2h)-2f(x+h)-f(x))/h² ) à celles d'autre part qui font intervenir les données à droite et à gauche ( ex dérivée 1ère : lim (f(x+h)-f(x-h))/2h ; 2ème : f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h² ). On voit bien évidemment que les résultats sont différents selon que l'on tient compte de ce qui est antérieur à la valeur de x ciblée - ou si on n'en tient pas compte. Et quelles formules choisit-on si les données précédentes existent ? Un petit défi que je soumets: essayer de trouver les approximations similaires des dérivées suivantes ( par exemple 3e et 4e ordre à une variable ) ainsi que celles avec deux variables z=f(x,y) pour les quatres premiers ordres ! Vous allez être surpris de vos découvertes comme je l'ai été moi-même. Car rien n'existe actuellement à ce sujet alors que cela serait utile pour les EDP pas à pas et d'autres choses.
J'ai jeté un coup d'oeil sur le cours effectivement complet dans l'état des formulations actuelles.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Mathématiquement, la dérivée d'une fonction en x est bien définie comme (quand elle existe):



Les dérivées suivantes sont définies en réappliquant la dérivée:



Les formules que vous donnez sont des approximations des dérivées premières et secondes. Cela est effectivement utile pour résoudre numériquement des EDO et des EDP pas-à-pas. Vérifiez cependant un peu plus vos affirmations: les techniques que vous exposez sont connues depuis longtemps et sont enseignées dans les écoles d'ingénieur notamment (je le sais puisque j'ai moi-même enseigné cette matière).

Voyez par exemple le syllabus de cours suivant à la page 65 vous aurez toutes les réponses à vos questions: http://vincent.legat.eu/ --> "FSAB1104 : Méthodes numériques" --> "Notes de cours 11-12 (version 6.5) (Vincent Legat, 13/09/2011)" (dans la rubrique "Documents et ressources")

[invite01e0f157]

Effectivement le chapitre 3 correspond à une partie de ce que j'ai retrouvé ou trouvé. Il évoque les approximations centrées que j'avais calculées au 3.1 page 82 mais je ne trouve pas celles non centrées déterminées à partir de la succession que tu cites et je trouve le développement limité à une variable x d'ailleurs jamais citée sauf page 65-66( très vite x=0 et h seul évoqué ). Il est vrai qu'elles sont ainsi faciles à retrouver par f'(x+h)-f(x)/h . Mais je trouve pour ma part f(x+2h)-2f(x+h)+f(x) pour la dérivée seconde et f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x) pour la troisiéme en appliquant la méthode de base ci-dessus que tu préconise à bon escient et que je pratique dans mes approximations unilatérales à droite. L'auteur à fait des approximations à gauche que je vérifierai qui sont utiles pour détreminer le pas à choisir pour les études d'extrapolation locale à droite. Je reconnais que je n'ai rien inventé là mais je ne vois pas encore les approximations numériques successives pour les dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables. Le cours est super. Merci

[invite01e0f157]

la première expression / h² bien sûr et la seconde /h3 bien sûr

[Paraboloide_Hyperbolique]

De rien

C'est vrai que l'auteur du cours passe très vite à x = 0, mais il fait cela sans perte de généralité.
Concernant les approximations des dérivées, vous verrez très vite qu'elles ne sont pas uniques. Il y a plusieurs manières d'obtenir des approximations différentes. Il y a celle que je vous ais exposée, il y a aussi moyen de passer par les développements de Taylor (je crois que c'est ce que l'auteur du cours expose), et il y a bien d'autres manières. Par exemple, passer par une interpolation polynomiale (avec les polynômes de Tchebychev, ceux de Hermite...), par une série de Fourier tronquée (on obtient alors les méthodes spectrales) et que sais-je encore.

Concernant le cas des fonctions à plusieurs variables, je crois que cela est abordé vers la fin du cours (chapitre 6: résoudre un problème aux conditions limites).

[invite01e0f157]

Daccord pour tout le premier paragraphe et je vois et je sais que j'ai encore beaucoup de choses à apprendre et à découvrir, voire à développer. En ce qui concerne le chapitre 6 que j'ai lu je pense que j'ai vu le problème des variables multiples et des approximations centrées et unilatérales d'une autre façon qui va beaucoup plus loin et ouvre des horizons. Je connais la philosophie du Laplacien approximé et je suis daccord sur sa valeur.
Voilà ma philosophie et mon approche ; peut -être un mathématicien a t'il déjà eu cette approche ::
Prenons dabord pour bien comprendre les unilatérales avec (x=0,y=0) pour origine et en utilisant le premier quadran du plan 0xy. Je constitue aussi une grille avec dx dy comme unités d'axes formelles....Si j'ai une variable x, je formalise l'approximation de la dérivée par f'(x=0) = lim (f(0+dx)-f(0))/dx, ce sur quoi nous sommes daccord. Maintenant je pondère (à la manière des barycentres ) les points (0,0) et (0,1) des valeurs (+1) et (-1) . La formule peut se représenter par le rapport de la distance pondérée par la distance non pondérée : soit f'(x=0)=(+1)*f(1,0)+(-1)*f(0,0)/dx soit df/dx= f(1,0)-f(0,0).
On fait la même chose en dy sur l'axe Oy. On considère ensuite le carré O(0,0),(dx,0),(0,dy),(dx,dy) et on affecte les poids +1 aux deux sommets O(0,0) et celui opposé(dx,dy) et -1 aux deux autres (dx,0) et (0,dy).
On a alors non seulement les deux définitions précédentes en observant Ox et Oy mais aussi :
d²f/dxdy= f(dx,dy)+f(0,0)-f(dx,0)-f(0,dy). Tu peux imaginer la suite que j'ai trouvée pour les différentielles successives et plus de 2 variables.
As tu stp des sites qui parlent de cette approche ? Ce serait super gentil de ta part. Bonne fête du 15 août.

[invite01e0f157]

Complément : il s'agit bien sûr de pondérer les valeurs de f(x,y) par les valeurs affectées aux points de la grille. Les différentielles de f(x,y) d'ordre inférieur à n² font intervenir les n+1*n+1 points d'un carré de coté n*dx et n*dy de la grille ayant 0 comme origine ( ex f²/d²x d²y ou dxdy et f / dx et dy avec les 9 points d'un carré de cotés 2dx et 2dy.
Pour f(x,y,z) et un ordre n3 ce sera un cube de n+1*n+1*n+1 points de cotés n*dx, n*dy,n*dz et ainsi de suite à l'aide du PC et de combinaisons adéquates.
Méa culpa

[invite01e0f157]

Les coefficients sont alors de haut en bas et de gauche à droite :
Pour les différentielles d'ordre >ou= à 2 de f, les coefficients appliqués aux différents f aux 9 points du carré 2dx,2dy de 3x3 points seront de haut en bas être de gauche à droite :
+1 -2 +1
-2 +4 -2
+1 -2 +1
avec le point O en bas à gauche. Le point central donnera la valeur de d²f/dxdy= 4f(dx,dy)-2f(dx,0)-2f(0,dy)+f(0,0) et non le Laplacien . pour celui-ci, on utilisera aussi d²f/dx²=1f'(2dx,0)-2f(dx,0)+1f(0,0)et d²f/dy²=1f(0,2dy)-2f(0,y)+f(0,dy). rien que cela demande une petite réflexion afin de retrouver la formule classique. Avec une surprise peut-être à la clé.
La formule classique concerne le Laplacien avec approximation centrée et non le Laplacien avec approximation unilatérale. Qu'en pensez vous?
Bon appétit

[invite01e0f157]

Complément : il s'agit bien sûr de pondérer les valeurs de f(x,y) par les valeurs affectées aux points de la grille. Les différentielles de f(x,y) d'ordre inférieur à n² font intervenir les n+1*n+1 points d'un carré de coté n*dx et n*dy de la grille ayant 0 comme origine ( ex f²/d²x d²y ou dxdy et f / dx et dy avec les 9 points d'un carré de cotés 2dx et 2dy.
Pour f(x,y,z) et un ordre n3 ce sera un cube de n+1*n+1*n+1 points de cotés n*dx, n*dy,n*dz et ainsi de suite à l'aide du PC et de combinaisons adéquates.
Méa culpa
Les coefficients sont alors de haut en bas et de gauche à droite :
Pour les différentielles d'ordre >ou= à 2 de f, les coefficients appliqués aux différents f aux 9 points du carré 2dx,2dy de 3x3 points seront de haut en bas être de gauche à droite :
+1 -2 +1
-2 +4 -2
+1 -2 +1
avec le point O en bas à gauche. Le point central donnera la valeur de d²f/dxdy= 4f(dx,dy)-2f(dx,0)-2f(0,dy)+f(0,0) et non le Laplacien . pour celui-ci, on utilisera aussi d²f/dx²=1f'(2dx,0)-2f(dx,0)+1f(0,0)et d²f/dy²=1f(0,2dy)-2f(0,y)+f(0,dy). rien que cela demande une petite réflexion afin de retrouver la formule classique. Avec une surprise peut-être à la clé.
La formule classique concerne le Laplacien avec approximation centrée et non le Laplacien avec approximation unilatérale. Qu'en pensez vous?
Bon appétit

[invite01e0f157]

Les coefficients sont alors de haut en bas et de gauche à droite :
Pour les différentielles d'ordre >ou= à 2 de f, les coefficients appliqués aux différents f aux 9 points du carré 2dx,2dy de 3x3 points seront de haut en bas être de gauche à droite :
+1 -2 +1
-2 +4 -2
+1 -2 +1
avec le point O en bas à gauche. Le point central donnera la valeur de d²f/dxdy= 4f(dx,dy)-2f(dx,0)-2f(0,dy)+f(0,0) et non le Laplacien . pour celui-ci, on utilisera aussi d²f/dx²=1f'(2dx,0)-2f(dx,0)+1f(0,0)et d²f/dy²=1f(0,2dy)-2f(0,y)+f(0,dy). rien que cela demande une petite réflexion afin de retrouver la formule classique. Avec une surprise peut-être à la clé.
La formule classique concerne le Laplacien avec approximation centrée et non le Laplacien avec approximation unilatérale. Qu'en pensez vous?
Bon appétit

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Je n'ai malheureusement pas le loisir de vérifier en profondeur vos calculs. D'après ce que j'ai lu en diagonal, vous effectuez des différences finies pour approximer un laplacien. La méthode que vous employez me semble à première vue correcte. En tous cas, en me replongeant dans un livre de méthodes numériques je retrouve la même matrice approximant le laplacien que celle que vous donnez (notez que cette approximation n'est pas unique, on peut en trouver d'autres).

Le cours que je vous ais fournit constitue naturellement un cours de base. Il a cependant l'avantage d'être facilement compréhensible. Il existe naturellement des méthodes numériques bien plus avancées, mais on peut déjà faire pas mal de choses avec ce premiers cours.

Si vous voulez des références plus avancées (mais je vous conseille de commencer avec le cours que je vous ais fourni):

http://astronu.jinr.ru/wiki/upload/d...RecipesinC.pdf : un livre qui se fait un peu vieux mais qui faisait référence en son temps (les chapitres 16 et 19 vous concerne).

http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&...4h6PXA&cad=rja : cours de méthodes spectrales.

http://perso.uclouvain.be/vincent.le...labus-v1-0.pdf : introduction à la méthode des éléments finis.