Produit exterieur

[invitecbade190]

Bonjour,

Soient et deux - espaces vectoriels et une application linéaire. On définit par :

En déduire une application :
Montrer que est - linéaire, et commute à l'action de , en particulier, il commute à l'action de l'opérateur d'anti-symétrisation :

Lorsque est alternée, montrer que l'est aussi.
Montrer que , pour tous .
Montrer que est un homomorphismes de - algèbre graduée.

=====================

Voiçi ce que j'ai fait :
Pour :
On pose : avec et
Donc existe.
Pour :
est linéaire. En effet :
:



.
Pour la suite, de l'exercice, j'ai besoin qu'on m'explique ce qu'on entend par :
Montrer que commute à l'action de , en particulier il commute à l'action de l'opérateur d'anti-symétrisation :


Merci d'avance.
-----

[invitecbade190]

commute à l'action de , veut dire que : :
commute à l'action de l'opérateur d'anti-symétrisation, veut-il dire que :
Donc : :



Par conséquent :
D'autre part :



Par conséquent :
Maintenant, comment montrer que : est alternée, quant est alternée ?
Merci d'avance.

[invite14e03d2a]

Salut,

précisément, il faut définir par

avec et

Le reste me semble juste. Le caractère alterné de est, il me semble, une conséquence des questions précédentes.

[invitecbade190]

Oui, merci beaucoup.
On a :

Par hypothèse : : est alternée, donc :
dès que .
Par conséquent : .
Par conséquent : est alternée.
Comment montrer maintenant, la - ème question ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

svp, comment faire pour :
D'après un cours,
On pose :
Soient et deux suites de entiers. On pose :
, si les indices sont distincts, et en est une permutation paire.
, si les indices sont distincts, et en est une permutation impaire.
, sinon.
Alors :

[invitecbade190]

Dans un autre cours, on écrit :

Je ne vois pas la différence entre cette écriture et l'écriture :

Et laquelle choisir pour terminer cette question ?
Merci d'avance.

[invitecbade190]

J'ai besoin d'aide svp.

[invitecbade190]

Un peu d'aide svp.