prdoduit tensoriel, produit exterieur

[invitec1942a00]

Bonjour,
Voilà mon problème, dans mon cours il est écrit :
je prendrai pour notations :
^ : produit exterieur
x : produit tensoriel

w appartenant à A^k(H) (ici ^ : puissance)
n appartenant à A^l (H)

(1) w ^ n = ( (k+l)! / k! l! ) Alt (w x n)
et (2) Alt (w x n)(v1, .... , vk+l) = ( 1 / (k+l)! ) (SOMME) sgn (X) w (v(X(1)), .... , v(X(k))) n (v(X(k+1), ... , v(X(l+k)))
et dans un de mes TD un professeur a écrit : (3) w ^ n (v1, ... , vk+l) = ( 1 / (k+l)! ) (SOMME) sgn (X) ( w x n )(v(X(1)), ... , v(X(l+k))
et au vu de (1) et (2), j'aurais pensé que : w ^ n (v1, ... , vk+l) = ( 1 / k! l! ) (SOMME) sgn (X) ( w x n )(v(X(1)), ... , v(X(l+k))
donc voilà, je ne comprends pas trop !
Merci de m'expliquer.
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[invitec1942a00]

Bonjour,
Voilà mon problème, dans mon cours il est écrit :
je prendrai pour notations :
^ : produit exterieur
x : produit tensoriel

w appartenant à
n appartenant à

(1) w ^ n = Alt (w ^ n)
et (2) Alt (w x n) =
et dans un de mes TD un professeur a écrit : (3) w ^ n = (w x n)
et au vu de (1) et (2), j'aurais pensé que : w ^ n = ( w x n )
donc voilà, je ne comprends pas trop !
Merci de m'expliquer.

[invitec1942a00]

désolée, pour (1) : (1) w ^ n = Alt (w x n)
merci !!!!!

[invite76543456789]

Salut,
alors je comprends pas tout ce que tu as ecrit, c'est quoi H, c'est quoi A deja?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1942a00]

d'après mon cours : H : ev de dimension n
et : ensemble des formes k-linéaires sur
et : ensemble des formes l-linéaires alternées

[invite76543456789]

Et Alt j'imagine que c'est un morphisme de l'un dans l'autre?

[invitec1942a00]

pour Alt on a juste écrit que c'était l'alternance avec :
t appartenant à

Alt(t) appartenait à
w appartenant à implique que Alt(w) = w
Alt (Alt (t)) = Alt (t)

[invite76543456789]

Et X c'est qui? (bon je crois comprendre le film, alors je te le refais, tu m'arretes si ca te semble pas familier).

Alors T^k(H) est l'ensemble des formes k-linéaires de H dans le corps de base, A^k(H) c'est les formes k-linéaires alternées.

Tu as un morphisme, noté "Alt" d'esp vect de T^k dans A^k, donné par si ,

Note que le 1/k! est juste là pour faire joli, c'est juste un coeff de normalisation. S_n c'est l'ensemble des permutation d'ordre n. Il est clair que Alt est linéaire, et atterit bien dans A^k.
Le reste de tes propriétes suivent des propriétés des formes alternés.

Tu definis ensuite le produit exterieur de deux formes alternées et le produit tensoriel de deux formes k-linéaires (note que Alt ne preserve pas du tous ces produits).

Pour la question en elle meme oui ton prof de td semble avoir fait une erreur dans le coefficients, ou alors n'a pas choisi la meme normalisation que ton prof.

[invitec1942a00]

Je ne comprends pas trop "Note que le 1/k! est juste là pour faire joli, c'est juste un coeff de normalisation" cela veut-il dire que si on enlève le "1/k! de la formule l'écriture sera plus pénible/plus "lourde" ?
et si oui, pourquoi en exsiterait-il plusieurs ?
Merci !

[invite76543456789]

Ca veut dire que 1/k! est un juste un coeff, on pourrait ne pas le mettre ca changerait pas grand chose (en fait c'est juste le cardinal de S_k; et donc la rajoute pour faire une "moyenne" sur S_k, mais on pourrait tres bien ne pas le mettre ca changerait fondamentalement rien).