Géométrie Riemanienne

[invite9617f995]

Bonjour,

J'avoue avoir hésité à poster ma question dans la section physique, étant donné qu'elle m'est venu pendant mes "initiations" à la Relativité Générale. Si jamais un modérateur juge qu'elle a plus sa place en physique, qu'il n'hésite pas à la déplacer.
Comme je l'ai dit, je découvre la RG et suis en train de me familiariser avec ses outils mathématiques, soit notamment la géométrie Riemanienne. Il reste cependant quelques point très flous, notamment avec les histoires de co et de contra-variance.

Je considère une variété de dimension 4 munie de la métrique . J'adopterais la convention d'Einstein, avec les indices grecs variant de 0 à 3 et les indices latins seulement de 1 à 3 (en éliminant donc ce qui en RG représente le temps).
Souhaitant commencer par les cas les plus simples et pouvant se raccrocher à la gravitation de Newton, j'ai essayé de trouver la métrique sphérique créée par un objet massique au repos totalement invariant par rotation. En plus des nombreuses informations que l'on trouve sur la métrique grâce à ces symétries, on est vite amené à considérer les coordonnées sphériques, dont r=x²+y²+z²=(x¹)²+(x²)²+(x³)².

Mon problème est que cette coordonnées ne me semble pas du tout contravariante. Au delà des distinctions conceptuelles que ça entraine, les conventions de sommation d'Einstein ne s'applique pas et les quantités qui interviennent dans les calculs ne semblent plus avoir d'expression simple alors qu'avec des coordonnées contra-variantes, on verrait apparaitre des contractions d'indice simples à traiter (je ne sais pas si je suis très clair sur ce passage).
J'ai donc été tenté de rentre contravariant la coordonnée : . Le problème ici, c'est qu'il me semble que le "vrai" symbole de Kronecker (valant 1 si i=j et 0 sinon) est , ce qui donne . On se retrouve donc avec . Mais la métrique n'étant pas l'identité, on se retrouve donc avec une coordonnées r contra-variante mais différente de la coordonnée r sphérique.

Ma question : tout d'abord est-ce que ce que j'ai raconté est juste ? J'avoue ne pas encore du tout maîtriser tous ces concepts, et peut-être que je m'embrouille un peu. Et si oui, alors y-a-t'il un moyen d'utiliser correctement les coordonnées sphériques dans le cas d'une métrique qui n'est pas l'identité ?

Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
Silk
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[jacquolintégrateur]

Citation de silk78:

Je considère une variété de dimension 4 munie de la métrique .

Bonjour

Tu as l'air de supposer connu le tenseur métrique g^ik. Dans ce cas, tu connais tout!! L'espace de riemann est entièrement défini par la donnée du tenseur métrique. Je rappele qu'il est représenté (quant on a fait le choix d'un système de coordonnées) par une matrice carrée d'ordre n (le nombre de dimensions). Cette matrice est symètrique par rapport à la diagonale principale. Dans le cas de l'espace-temps de la RG, la signature est hyperbolique, c'est à dire que, si le système de coordonnées est orthogonal (toutes les composantes de g^ik à 2 indices différents sont nulles), les composantes spatiales sont positives alors que la composante temporelle est négative. On passe du mode contrevariant au mode covariant (ou l'inverse) en inversant la matrice, de sorte que: g^ikg_il = delta^k_l delta désigne le tenseur de Kronecker, dont les composantes diagonales sont toutes égales à l'nité, les autres étant identiquement nulles.
On a, bien sûr: ds² = g_ikdxⁱdx^k, si l'on a choisi des variables contrevariantes, ce qui est très courant. Pour obtenir r, supposé être la distance à un point (par exemple, un centre de symétrie), il faut calculer: r = intégrale(g_ikdxⁱdx^k)^1/2. Pour cela il faut, bien sûr, connaître l'équation de l'arc de courbe dont tu cherches à calculer la longueur. Si tu cherches la distance au centre, alors, par définition, la courbe sera une géodésique. L'équation des géodésiques forme un système différentiel du second ordre: d²xⁱ/dl²+_ij^kdx^j/dtdx^j/dt=0. Les groupes de trois indices cdésignent les composantes de la connection affine (ici les symboles de Christoffel de seconde espèce) . Ils se calculent en fonction des composantes du tenseur métrique et de leurs dérivées premières.
Il faut se souvenir que le postulat de base de la Relativité est: "Les lois physiques sont indépendantes du choix du référentiel" et, bien sûr, du système de coordonnées. Tu trouveras aisément des ouvrages (et sur Wiki certainement) qui t'indiqueront la procéduire archi classique pour déterminer le ds² correspondant à une distribution symétrique et, par conséquent, à une symétrie sphérique: ds² de Schwartzchild.
En m'excusant pour les notations: je suis extrèmement mal à l'aise avec les latex !!
Bon courage.
Cordialement

[invite9617f995]

Merci de ta réponse. Je suis d'accord avec tout ce que tu m'as dit. Mais, ce que j'aimerais savoir, c'est si j'ai le droit d'effectuer un changement de coordonnées quelconques ? Par exemple, puis-je simplement poser r=x²+y²+z² même si ça n'a pas le sens physique qu'il possède pour une métrique plate ? Et si oui, comment manipuler ces coordonnées alors qu'elles ne me semblent pas contravariantes ?

Merci

[jacquolintégrateur]

Citation de silk78:

Merci de ta réponse. Je suis d'accord avec tout ce que tu m'as dit. Mais, ce que j'aimerais savoir, c'est si j'ai le droit d'effectuer un changement de coordonnées quelconques ? Par exemple, puis-je simplement poser r=x²+y²+z² même si ça n'a pas le sens physique qu'il possède pour une métrique plate ? Et si oui, comment manipuler ces coordonnées alors qu'elles ne me semblent pas contravariantes ?

Bonjour
Tu peux effectuer n'importe quel changement de coordonnées défini par n fonction des n variables: yⁱ=Fⁱ(x^k), ceci pour tout domaine dans lequel la transformation considérée est continue, biunivoque et à jacobien non nul. Les composantes contrevariantes d'un vecteur quelconque se trnasforment alors suivant: v'ⁱ= D_kFⁱv^k. Le jacobien de la transformation est le déterminant de la transformation linéaire ainsi définie avec la matrice des dérivées partielles. Naturellement, les composantes covariantes d'un vecteur se transforment selon la transformation réciproque. Pour un tenseur d'ordre m il faut faire intervenir m coefficients calculés avec les dérivées partielles dans un sens ou dans l'autre suivant les indices de covariance ou de contrevariance. C'est, bien sûr, vrai pour le tenseur métrique. En particulier, tu as parfaitement le droit de poser: r(x,y,z)= x²+y²+z² mais il te faudra deux autres fonctions, arbitraires des trois variables (dans le cas d'un espace à trois dimensions), pour compléter le changement, à moins que tu ne laisses inchangées les autres coordonnées. Je rappele que, en RG, les coordonnées n'ont jamais aucun sens physique, du moins, ce dernier n'a aucune importance. C'est, d'ailleurs vrai, d'une façon générale en géométrie: les propriétés géométriques des figures sont indépendantes de la nature des coordonnées. Bien sûr, dans ton exemple, le r ne représentera pas , en général, une distance. (D_i représente, ici, l'opérateur de dérivation partielle par rapport à xⁱ: toujours à cause de mon infirmité avec les latex !!!)
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Merci beaucoup pour tes réponses.
Mais je dois avouer que j'ai encore un peu du mal avec certaines choses. Supposons que je pose et qu eje veuilles calculer . Si je ne me trompes pas, mais est-ce que la convention de sommation s'applique sur , alors que les indices ne sont pas opposés ? Ou alors, c'est un truc du genre est contravariant mais est covariant ?

Merci d'avance.
Silk

[Deedee81]

Salut,

Oulà, il y a un problème de signe là. Ou plutôt une histoire de convention. Il faut voir quelle signature tu utilises. Si tu as une signature -+++, alors si ta métrique est isotrope, peu importe que tu utilises ou , ils ont le même signe. Mais, bon, pour être propre il vaut mieux écrire que , d'autant que ce n'est pas toujours correct !!!! Par contre, si tu utilises une signature +---, alors est négatif et pour définir r tu dois mettre un signe - avant de prendre la racine carrée. Forcément. La forme ne pose pas ce problème mais rebelote, elle n'est pas rigoureuse.

Garde toujours les bons indices covariants et contravariants et utilise guv pour lever et abaisser tes indices si nécessaire.

[invite9617f995]

En fait c'est justement de ce problème que je parlais deedee. Je ne souhaite pas définir r² comme x_ixⁱ mais bien comme la somme des (xⁱ)² (comme si j'avais une métrique euclidienne). Effectivement, je me heurte à de nombreux problèmes de positions des indices, mais je me demandais donc si il était possible de vraiment faire des changements de coordonnées quelconques.

Silk

[jacquolintégrateur]

Citation de Deedee81:

Garde toujours les bons indices covariants et contravariants et utilise guv pour lever et abaisser tes indices si nécessaire.

@ silk78
Le conseil de Deedee est tout à fait pertinent: Il faut toujours se rapporter au tenseur métrique pour abaisser ou élever les indices. Si T_i^jk est un tenseur quelconque du troisième ordre, pour élever le premier indice, par exemple, tu écriras:T^mjk=g^miT_i^jk. De plus, le tenseur métrique contient l'information relative à la signature de la métrique. Cela dit, tu peux contracter xⁱd_if, puisque x est donné comme contrevariant et que l'opérateur de dérivation est toujours covariant (à moins, bien sûr, que on ne l'ait implicitement multiplié et contracté avec g^ij. Mais il est bon de le préciser).
Cordialement

[invite9617f995]

Le problème est que quand je fais le calcul explicite de d_ir, je ne le trouve pas covariant (ou en tous cas, ça ne me semble pas très clair). Mais peut-être est-ce que je disais : xⁱ est contravariant mais xⁱ/r est covariant ?

[invite76543456789]

Salut!
Deja, je te conseillerai de laisser tomber les conventions de sommation d'Einstein (au moins dans un premier temps) qui finalement ne sont que des astuces d'ecriture, pour rendre mecanique des choses qui sont de toutes façon naturelles.

Ensuite tu dis, je me place sur une variété de dimension 4, est elle quelconque? Ou est ce une variété bien precise (ce qui semble etre le cas vu qu'ensuite tu veux faire un changement en "coordonnées sphériques")? J'imagine que ta variété ce doit etre qqch comme... R^4, non?

Dans tous les cas, si tu veux "changer de coordonnées" ca veut dire composer ta carte avec un diffeomorphisme de R^4 (ou d'eventuellement un ouvert de celui ci). Il te faut donc (comme cela a été dit plus tout par jacquolintegrateur) specifier plusieur fonctions et pas seulement ton r.
Par exemple R^4 privé de zero, c'est S^3xR, si tu prive S^3 d'un point, disons son pole nord par exemple, alors (S^3-N)xR, c'est R^4 privé d'une demi droite, et c'est R^4 par la projection stereographique. C'est ca le "passage en spherique". Tu peux bien sur ecrire des formules pour tous ces morphismes, et a ce moment là, utiliser les conventions d'einstein par exemple. Ca te donne bien des coordonnées sur R^4 privé d'une demi droite, adapté a ton probleme (enfin tu es bien dans R^4, tu as des coordonnées dans une carte dense, ce qui suffit generalement a ton bonheur, vu que de toute facon les fonctions sont lisse et dont si tu les connais sur R^4 privé d'une droite tu les connais partout, au pire tu peux prendre les coordonnées sur deux cartes differentes, en remplacant par exemple nord par sud dans mon laius precedent).

Du reste, je comprend pas ce que tu appelles "rendre contravariante une coordonnée".

[invite9617f995]

Hmm, merci pour ta réponse mais je dois avouer que ça dépasse de très loin mes connaissances. J'ai abordé la géométrie non euclidienne avec la RG, sans carte, sans difféomorphisme, en fait sans topologie "abstraite".
Tu as raison, ce n'est pas du tout n'importe quelle variété, je considère juste R⁴ muni d'une forme bilinéaire symétrique g.

[jacquolintégrateur]

Citation de silk78:

Le problème est que quand je fais le calcul explicite de dir, je ne le trouve pas covariant (ou en tous cas, ça ne me semble pas très clair). Mais peut-être est-ce que je disais : xi est contravariant mais xi/r est covariant ?

Ton r est une fonction scalaire, à ce qu'il semble. Ses dérivées partielles constituent les composantes covariantes d'un vecteur: le "gradient " bien connu. d_ir est donc nécessairement covariant. Si xⁱ sont des variables contrevariantes, ce qui semble être le cas, xⁱ/r(x,y,z) est contrevariant car la fonction scalaire r(x,y,z) est, elle, un invariant. Pour te convaincre que les dérivées partielles sont covariantes, effectue, sur la fonction r(x,y,z) une transformation avec trois fonctions de trois nouvelles variables, comme je te l'ai indiqué plus haut, puis calcule les dérivées parielles par rapport aux nouvelles variables en utilisant les règles standards des dérivées de fonction de fonction et tu verras sans peine que tu obtiens bien des formules de transformation covariantes.
Cordialement

[Amanuensis]

En utilisant "Répondre avec citation", le balisage d'une citation est correct, il contient le pseudo de l'auteur, et un hyperlien. Comme ça :

Le problème est que quand je fais le calcul explicite de d_ir, je ne le trouve pas covariant (ou en tous cas, ça ne me semble pas très clair). Mais peut-être est-ce que je disais : xⁱ est contravariant mais xⁱ/r est covariant ?

La balise ouvrante s'écrit

QUOTE=silk78;4144501] (pseudo et lien)

QUOTE=silk78] (pseudo seulement)

[JPL]

C'est plus correct en écrivant [QUOTE=silk78;4144501] (pseudo et lien) mais pour le visualiser ainsi il faut utiliser la balise noparse.

[Amanuensis]

Je ne considère pas que Jacquolintégrateur (et autres lecteurs) étaient suffisamment stupides pour ne pas comprendre le [ implicite.

[JPL]

Oui mais il y a d'autres lecteurs peut-être moins familiers avec les balises.

[jacquolintégrateur]

C'est plus correct en écrivant [QUOTE=silk78;4144501] (pseudo et lien) mais pour le visualiser ainsi il faut utiliser la balise noparse.

Bonsoir
OK. Merci. Ceci est un essai. cordialement

[Amanuensis]

OK, je m'incline, bon jugement de JPL.

[invite9617f995]

Ton r est une fonction scalaire, à ce qu'il semble. Ses dérivées partielles constituent les composantes covariantes d'un vecteur: le "gradient " bien connu. d_ir est donc nécessairement covariant. Si xⁱ sont des variables contrevariantes, ce qui semble être le cas, xⁱ/r(x,y,z) est contrevariant car la fonction scalaire r(x,y,z) est, elle, un invariant.

C'est ce qu'il me semblait aussi au départ, le problème c'est que d_ir=xⁱ/r(x,y,z), alors que l'un est covariant et l'autre contravariant. Je pense donc que r n'est pas scalaire ici.

[jacquolintégrateur]

C'est ce qu'il me semblait aussi au départ, le problème c'est que d_ir=xⁱ/r(x,y,z), alors que l'un est covariant et l'autre contravariant. Je pense donc que r n'est pas scalaire ici.

Bonjour
En fait l'écriture d_ir = xⁱ/r(x,y,z) est une abréviation, incorrecte en toute rigueur. En réalité tu as défini: r = r(g_ikxⁱx^k), quelque soit g^ik de sorte que: d_ir =(dF/d(g_ikxⁱx^k))g_ikx^k qui est bien covariant, comme il se doit puisque c'est une composante de vecteur gradient.
Cordialement

[inviteaba0ef6b]

Bonjour,

En RG l'espace n'est pas plat, c'est pas un espace vectoriel et il faut distinguer entre coordorées et vecteurs(plus de vecteur position). Les coordonnées ne
sont pas co/contravariantes, les composantes des vecteures oui. A chaque point, repéré par les coordonnées est attaché un e-v dans lequel sont définis
les vecteurs et autres tenseurs. En chaque point, une base de cet e-v est fournit par les coordonnées(par exemple {,,}
pour les coordonées sphériques)

Tu as vu que les coordonnées sphériques doivent être adaptées à ton problème, pourquoi? Tu cherche la métrique, c'est elle qui doit être symétrique suivant ces rotations,
donc avoir un forme particulière dans ces coordonnées.

En espérant que ça aide...