Bonjour à tous,
On définit l'application linéaire
On me demande de trouver ker(u) et Im(u)
Pour le ker, j'ai fais des considérations sur les degrés, en effet si P''=-2P' alors le degré de P est strictement inférieure à 2, et on montre que ker u c'est l'ensemble des polynômes constants. Est-ce juste ?
Ensuite pour Im(u) je ne sais jamais comment m'y prendre...
J'aimerai un indice pour pouvoir démarrer.
Merci
Bonsoir,
On sait que l'image d'une base par une application linéaire u est une famille génératrice de Im(u). Si on considère donc les images des X^i pour i plus grand que 1, on obtient une famille génératrice de Im(u). Est se une base ? ^^
Merci de ta réponse.
Je ne connaissais pas cette propriété.
Aurais tu un lien ou elle est démontrée je ne la trouve pas sur internet...
Il suffit donc de verifier que la famille (U(X^i))i est libre
Et bien il n'y a pas vraiment de démonstration, c'est une propriété assez évidente quand on a l'habitude des Espaces vectoriels :
Tout élément de l'image peut être écrite comme étant de la forme u(x).
Or x peut s'écrire comme combinaison linéaire de vecteur de la base, de fait u(x) s'écrit comme combinaison linéaire des images des vecteurs de la base par linéarité de u. Ceci étant valable pour tout élément de l'image, on a la propriété.
Bonsoir,
Pour le noyau, tu peux écrireet t'intéresser aux degrés.
Pour l'image, si tu as l'intuition que u est surjective, tu peux poser
De manière générale, tu remarqueras que u est un exemple d'application linéaire surjective qui n'est pas un isomorphisme (puisque de noyau non trivial) ; cela vient du fait que tu travailles ici en dimension infinie (en dimension finie, tout application linéaire surjective est un isomorphisme).
If your method does not solve the problem, change the problem.
