Genre d'une surface.

[invite76543456789]

Bonjour,
Est ce que qqun connait un exemple simple de surface pour laquelle le genre geométrique et le genre arithmétique diffèrent? Quid du genre topologique?
Merci.
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[invite7512668d]

Bonjour, peux-tu préciser les définitions employées? Sur une surface de Riemann (courbe complexe projective lisse) les trois notions coïncident (d'où le nom de genre). Mais sur une surface non compacte et/ou singulière, suivant les définitions choisies il peut y avoir des différences.

[0577]

Bonsoir,
pour une courbe algébrique projective complexe X (non nécéssairement lisse) :
-genre géométrique = genre de la normalisation de X
-genre arithmétique = .
On peut penser au genre arithmétique comme au genre d'une "déformation lisse"
de X.

Si X est lisse, ces deux notions coïncident et sont égales au genre topologique
de la surface topologique réelle associée.

Exemple le plus simple où elles sont différentes : une cubique plane nodale (
dans une carte affine). On a une singularité, un point double ordinaire en 0.
Une "déformation" de X est une cubique non-singulière : le genre arithmétique est 1.
La normalisation de X est la droite projective : le genre géométrique est 0.

Plus généralement, pour une courbe plane avec pour seules singularités des points
doubles ordinaires :
genre géométrique = genre arithmétique - nombre de points doubles
(on peut donner une formule pour des singularités plus générales).

Lorsqu'on a des singularités, l'ensemble des points complexes n'est plus une surface
topologique mais c'est encore un espace topologique : on peut encore
définir une caractéristique d'Euler-Poincaré et donc un "genre topologique".
Je pense qu'il coincide avec le genre géométrique : à vérifier ...

[0577]

Bonjour,

à propos de mon message précédent :
- une faute de frappe : il faut bien sûr lire pour avoir l'équation affine d'une cubique nodale.

- une précision : dans le mot "courbe", j'inclus les hypothèses séparé et intègre sur le schéma correspondant.
Si on enlève l'hypothèse intègre, la définition correcte du genre arithmétique est .

- que faut-il appeler le genre topologique ? L'ensemble des points complexes d'une cubique nodale est topologiquement une
sphère avec deux points identifiés : ces nombres de Betti sont donc 1,1,1 et sa caractéristique d'Euler-Poincaré est
. Il ne semble donc pas raisonnable de définir le genre par .
On peut définir le genre comme le nombre maximal de courbes fermées simples qu'on peut tracer sans rendre
la surface disconnexe : dans l'exemple précédent, on obtient 0 avec cette définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7512668d]

Si on définit le genre topologique comme le rang du H_1 en revanche, on tombe bien sur un genre égale à 1. C'est pour cela que MissPacMan a tout intérêt à préciser les définitions qu'elle utilise.

[invite76543456789]

Bonjour,
Alors pour moi, le genre topologique est le nombre maximal de courbes de jordan incluse dans la surface qui ne la deconnecte pas (c'est la def de 0577). Ma definition du genre arithmétique on peut le definir à l'aide du polynome de Hilbert (pour une variété projective bien sur, mais les surfaces compactes le sont toutes), c'est au signe pres, la valeur du polynome de Hilbert en 0 moins 1.

Pour le genre geometrique c'est la dimension sur C de l'espace des sections globales du faisceau canonique (la puissance exterieur top du faisceau des differentielles).

[invite76543456789]

J'ai oublié de remercier tout le monde pour ses reponses!
Elles ont fait mon bonheur!