Décomposition du disque en carrés

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'avais lu dans une ancienne discussion un argument sympathique montrant que le disque ne pouvait s'écrire comme une union de carrés, mais je n'ai pas été capable de retrouver cette discussion.

Y a-t-il quelqu'un à qui cela parle ?

Merci d'avance,
Seirios
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que les carrés sont intégralement contenus dans le disque et qu'il est fermé.
Une union finie, c'est évident (voir le long du cercle).
Une union infinie, c'est faux : Il suffit de prendre pour chaque point du cercle le carré dont la diagonale est définie par ce point et le point diamétralement opposé.
Donc il s'agit probablement d'une union dénombrable. Ce qui me rappelle moi aussi quelque chose. Je cherche.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas souvenir de ce fil, mais si l'union peut être non dénombrable, il me semble qu'en faisant tourner un carré dont la diagonale = rayon du cercle, cela doit marcher.

Si l'union doit être dénombrable, comme un carré a au plus 4 points communs avec le cercle frontière du disque, on ne peut épuiser tous les points du cercel frontière.


[HS] Où en êtes-vous de votre document sur "Filtre, structure uniforme et topologie" ?

[gg0]

Ah, oui, Médiat,

c'était effectivement très simple. A moins que ce soit le disque ouvert et des carrés ouverts ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Union dénombrable de carrés je suppose, car une union quelconque de carrés peut tout à fait donner un disque :

Si on note le carré ayant pour diagonale les points de coordonnées et

Alors est le disque unité




Maintenant, si l'union est dénombrable, ça n'est plus possible. En effet, le seul moyen d'obtenir un point du bord du disque est que ce point soit le sommet d'un des carrés. (il faudrait cependant le démontrer rigoureusement :/ )
Il n'y a qu'un nombre dénombrable de carrés, donc de sommets.
Mais le bord du disque est continu, et à donc la puissance du continu, il y a donc un nombre non dénombrables de points sur le bord du cercle

Ainsi, il est impossible d'obtenir le cercle par une union dénombrable de carrés


Edit : grillé par médiat

[Seirios]

Effectivement, j'ai oublié de préciser la cardinal de l'union. De mémoire, dans la discussion dont je parlais, l'introduction du disque servait de contre-exemple pour une question d'intégration.

A moins que ce soit le disque ouvert et des carrés ouverts ?

Si le disque et les carrés sont ouverts, l'union dénombrable fonctionne : dans un espace métrique séparable, tout ouvert peut s'écrire comme une union dénombrable de boules ; or les boules pour la norme infinie sont justement des carrés.

[HS] Où en êtes-vous de votre document sur "Filtre, structure uniforme et topologie" ?

Je me suis laissé quelques jours pour étudier un sujet que je ne connaissait pas encore, mais je m'y remets cette semaine ; je devrais pouvoir poster le deuxième chapitre (et peut-être le troisième) dans quelques jours.