Bonjour,
J'essaye de comprendre le produit tensoriel et j'insiste sur le fait que je ne suis pas mathématicien, donc, soyez light s.v.p...
Est-ce qu'on pourrait dire que le Produit tensoriel contracté une fois est la même chose que le produit scalaire ou pas ?
Ça fait quoi le produit tensoriel d'un tenseur par la matrice d'identité ?
Merci
Bonjour,
Vous devriez regarder les contributions des forumeurs : http://forums.futura-sciences.com/ma...ensoriels.html
ce document est très bien fait
Et toi, tu peux pas me l'expliquer simplement au lieux de m'ennvoyer des choses bizarres des mathématiciens ?Envoyé par sailx
Bonjour,
Vous devriez regarder les contributions des forumeurs : http://forums.futura-sciences.com/ma...ensoriels.html
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Bonjour,
"A la physicienne" et en gros, un tenseur est une quantité multi-indicée. Par exemple:
est un vecteur.
On peut obtenir diverses opérations en contractant les indices de tenseurs (convention d'Einstein):
Par définition, un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Une forme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans les réels. On peut définir par contraction d'indices un produit scalaire. le résultat doit être un scalaire, c'est-à-dire une quantité qui ne dépend plus d'aucun indice:
Oui et non.
Non : la contraction est stricto sensu équivalente à un produit naturel, i.e., l'application d'une forme linéaire sur un vecteur. (C'est cohérent avec le fait qu'on contracte un indice covariant et un indice contravariant, un en bas et un en haut.)
Oui : Si une métrique est définie (implicitement--souvent euclidienne--ou explicitement), il y a un passage canonique entre vecteurs et formes, et on peut voir la contraction comme le produit scalaire entre un vecteur et l'image d'un autre vecteur par l'isomorphisme.
De nombreuses présentations (en physique) cherchent à ignorer la différence entre vecteurs et formes (et parlent par exemple de coordonnées covariantes ou contravariantes pour un "même" vecteur), , ce qui amène la confusion (cas 'oui')
Amha, la bonne compréhension des tenseurs demande, même en physique (en particulier pour passer à la RG), une bonne maîtrise de la différence entre vecteurs et formes, et la vision "produit naturel" devrait être privilégiée. Et le respect des positions hautes et basses des indices systématique.
Un tenseur d'ordre 2 de plus que le tenseur d'origine !Ça fait quoi le produit tensoriel d'un tenseur par la matrice d'identité ?
La matrice identité représente (implicitement, et pour une base implicite) un tenseur d'ordre 2, qui est le tenseur métrique euclidien si les deux indices sont de même variance, ou la fonction identité si un indice est covariant et l'autre contravariant. Le produit tensoriel avec un vecteur (pour prendre un exemple) sans contraction fait juste un tenseur d'ordre 3. Avec contraction, cela fait soit l'isomorphisme entre vecteur et forme, soit le même vecteur.
Dernière modification par Amanuensis ; 26/08/2012 à 15h54.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
C'est exactement là que je commence à avoir des problèmes. Donc, quand il y a une contraction, c'est à dire qu'il a une opération ? Comme dans l’exemple du produit contracté d'une patrice par un vecteur ?
Si oui, par exemple en mécanique quantique, l'action d'un opérateur sur un vecteur d'état est un produit tensoriel contracté ?
Dans ce cas pourquoi le gradient est un produit tensoriel tout court comme ca a été dit dans ce cour ?
Ça tombe bien qu'on parle de métrique... en fait j’essaye de comprendre le tenseur de Ricci qui est le tenseur obtenu par contraction
des premier et troisième indices du tenseur de Riemann. Qu'est ce qu'on a fait ici ? Qu'est ce que ça peut dire physiquement ?
Il n'y a pas de produit contracté de deux tenseur covariants non-plus ?
Le tenseur de levi-civita est quoi lui ? Covariants ?
En fait, c'est quoi ce produit naturel ? C'est produit que tout le monde connait ? J'ai cherché sur google, je suis tombé que sur les produit bios !!!
Je me permet de repondre,
Tu as une application dite "naturelle" de E*xE dans R (ou E* est le dual de E, l'espace des formes), qui consiste simplement a prendre f une forme linéaire et v un vecteur et a appliquer f à v, ca te donne f(v). C'est ce qu'on appelle le "produit naturel".
Maintenant generiquement un tenseur c'est une somme de
C'est effectivement ce qui se passe quand tu fait agir une matrice par produit sur un vecteur.
En mecanique quantique les espaces sont en general de dimension inifinie, donc ca n'est pas aussi simple (notemment parce que certaines operateurs ne sont pas alors des tenseurs (1,1)), mais en dimension finie, oui, on peut assimilier l'action d'un operateur avec une contraction.
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par le "gradient est un produit tensoriel".
Le tenseur de riemann c'est une 2-forme a coefficent dans le fibré dans les endomorphisme (de ton espace tangeant), c'est lui qui contient le plus d'information, tu peux reduire cette information en contractant et tu obtients la courbure de Ricci, et encre une fois reappliquer une contraction et tu obtiens la courbure scalaire.
Le produit tensoriel contracté c'est la composition du produit tensoriel suivi d'une contraction. Tu ne peux contracté que des formes sur des vecteurs, donc si le tenseur que tu cherche a contracté est du type (p,0), ou (0,q), non tu ne peux pas contracter.
Je connais une connexion de Levi-civita (qui n'est pas un tenseur justement), qu'appelle tu tenseur de levi civita?
Le produit naturel, selon le contexte ca veut dire un peu tout et n'importe quoi, ca veut dire le produit auquel on s'attend et que l'auteur a la flemme d'ecrire explicitement
Où précisément, dans ce cours ?
Physiquement, c'est une sorte de moyenne, une trace (1). La trace d'une matrice est la somme des valeurs propres ; divisée par la dimension, on peut la voir comme la moyenne des valeurs propres, le terme "sphérique" d'un développement en harmoniques sphériques, une moyenne prise sur "toutes les directions", ...j’essaye de comprendre le tenseur de Ricci qui est le tenseur obtenu par contraction
des premier et troisième indices du tenseur de Riemann. Qu'est ce qu'on a fait ici ? Qu'est ce que ça peut dire physiquement ?
(1) La trace d'une matrice est la contraction du tenseur (1,1) qu'elle représente.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Alors, explique moi... Si à chaque point d'une variété riemannienne à 2D, la courbure scalaire définit la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Est-ce que je peux dire que le tenseur de riemann définit la courbure d'un espace à 4D ? Dans ce cas, comme dans ton exemple, si
Il n'y a pas de page dans ce cour... Mais compter manuellement, la page 21.
Je comprends plus... La trace d'une matrice est la somme des valeurs propres ? Je croyais que c'était juste la somme des aii pour la matrice A par exemple... :$ Expliquer moi tout ça !
Le tenseur de riemann (le carré de la connexion donc) definit la courbure sur une variété riemannienne, quelque soit la variété riemannienne considérée, et quelque soit sa dimension.Alors, explique moi... Si à chaque point d'une variété riemannienne à 2D, la courbure scalaire définit la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Est-ce que je peux dire que le tenseur de riemann définit la courbure d'un espace à 4D ? Dans ce cas, comme dans ton exemple, si
Les indices sont juste la pour indexer les vecteurs et les formes... je comprends pas la question.
La courbure en un point de l'espace 4D, c'est le tenseur de riemann.
C'est la même chose. La trace est invariante par changement de base.
où D est la matrice contenant les valeurs propres.
Je commence à comprendre... Mais, dis-moi, un espace topologique est un espace déformable ou la distance n'est pas définie, c'est ça ?
Si oui, chaque élément a tout de même toujours les même voisins ? Ou même les voisins peuvent changer ?
C'est un peu flou.
Il n'y a pas de distance sur un espace topologique c'est vrai.
Qu'est ce que c'est un voisin d'un point?
C'est la même chose. La trace est invariante par changement de base.
où D est la matrice contenant les valeurs propres.
Je pense que ce que Paraboloïde_Hyberbolique a voulu dire c'est qu'on peut toujours ecrire A=PDP^{-1}, Ou D est une matrice triangulaire (quitte a le faire sur C), du coup Tr(A)=Tr(D) et la trace de D est la somme des valeurs propres (complexes) comptés avec multilplicité.
Je sais pas... Les éléments d'un ensemble topologique sont comment ? On parle toujours de complétude et se genre de chose pour ses choses là ? Le mieux serai de me pencher dans un livre de math. Il y a des ouvrage pas trop compliqués avec des exemple physique pour ce genre de chose ?
Essayons de clarifier... Un espace métrique est muni d'une distance, ses propriétés sont invariantes par des isométries. Par exemple le plan euclidien a des propriétés invariantes par les translations ou les rotations. Ce qui fait qu'on va pouvoir parler de propriétés de figures, comme "être un carré" qui ne dépendent pas de l'endroit où on a dessiné la figure, ni de son orientation, mais qui dépendent des distances et angles entre points de la figure.
Pour un espace topologique, les propriétés sont invariantes par des homéomorphismes, qu'on peut voir comme des "déformations" qui "préservent les voisinages". On va pouvoir parler de propriétés de figures dans cet espace, propriétés indépendantes de "déformations" des figures mais liées aux "relations de voisinage" des points de la figure.
Dernière modification par Amanuensis ; 27/08/2012 à 07h00.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Il s'agit d'une (1) généralisation du gradient.
Le gradient usuel, c'est
L'auteur généralise à
(1) Il y en a d'autres, et peut-être plus pertinentes. Perso, je préfère voir le gradient comme la dérivée extérieure...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Il s'agit d'une (1) généralisation du gradient.
Le gradient usuel, c'est
L'auteur généralise à
(1) Il y en a d'autres, et peut-être plus pertinentes. Perso, je préfère voir le gradient comme la dérivée extérieure...
Bon, maintenant qu'on va dans tous les sens... Est-ce qu'on peut parler de la dérivée de Fermi-Walker ?
Si j'ai bien comprit, la dérivée covariant est une façon de dériver des vecteurs qui se trouvent dans les espaces vectoriels differenet... Oki, alors c'est quioi le sens de dérivée de Fermi-Wlaker ? On fait quoi physiquement ?
Désolé, je cherchais à répondre aux questions posées. Si ça gêne, j'arrête.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je pense pas que ça soit une mauvaise chose d'aller dans tous les sens !
