Rang

[Snowey]

Bonjour,
une toute petit question idiote.
Je voulais montrer que le rang d'une matrice est bien égal à la plus grande dimension des matrices inversibles extraites (autrement dit, au plus grand naturel k tel que la matrice admette un k-mineur non nul).

Puis-je utiliser l'algorithme du rang pour démontrer cette équivalence ?
Mes arguments seraient alors les suivants:

1) les transformations élémentaires sont inversibles, donc ne modifient pas le rang de la matrice en question (cela correspond à l'action de "choisir un mineur convenable" dans la matrice)
2) on parvient ainsi, en notant T les combinaisons de transformations élémentaires, à où J est de rang r. on obtient donc que rg(A)=r (en effet, l'algorithme s'arrête: ).
3) Mais ce r là correspond aussi, par construction, au maximum de la taille d'une matrice inversible extraite de A.
En effet, si un mineur non nul plus grand existe, alors par l'algorithme on est amené à agrandir la taille de (c'est à dire à rendre le plus grand mineur triangulaire supérieur avec Gauss), et donc on aboutit à une contradiction car on aurait .
A l'inverse, s'il n'existe aucun mineur de taille r, alors a fortiori il est impossible d'atteindre (par construction de l'algorithme, que je n'ai pas détaillé par soucis d'économie, mais que tout le monde connait).

Pensez vous que ce raisonnement soir correct ?

En gros, j'utilise l'algorithme pour trouver le plus grand mineur non nul, et par construction sa taille est celle du rang de A.
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[Snowey]

Hum ...
j'ai enfin retrouvé une preuve plus élégante (utile pour montrer que si A est de rang n-1, alors sa comatrice este rang 1), mais cela bloque encore à un endroit pour moi.

On note h la taille maximale des matrices inversibles extraites de A.
On a : on considère une famille de colonnes libres (qui engendrent l'image), et on considère , de rang r d'après ce qui précède. Or une matrice et sa transposée ont le même rang, donc on peut extraire une famille de r vecteurs colonnes libres. En considérant cette matrice extraite de C (et donc extraite de A), on a bien une matrice inversible de rang r.
Mais l'implication "évidente" , elle provient du fait que si une famille de vecteurs est libre sur un espace de dimension p, alors toute extension de ses vecteurs dans un espace plus grand (de dimension q>p) est aussi libre, n'est ce pas ?

[Seirios]

Mais l'implication "évidente" , elle provient du fait que si une famille de vecteurs est libre sur un espace de dimension p, alors toute extension de ses vecteurs dans un espace plus grand (de dimension q>p) est aussi libre, n'est ce pas ?

Pour le rédiger proprement, il suffit de se donner une relation linéaire puis de la projeter sur les h premières coordonnées, à partir de quoi tu pourras en déduire que les constantes de la relation doivent bien être nulles.