theoreme du rang

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

soit G un supplementaire de ker f dans E et g la restriction de f à G comme ensemble de depart et im f comme ensemble d'arrivée

ker g =G inter ker f ={0}
Im g inclus dans Im f

je ne comprends ces deux egalités

moi pour la premiere j'aurais ecrit E=G inter ker f ={0} et non
ker g = G inter ker f ={0}

et pour la deuxieme egalité je ne comprends pas non plus


pouvez vous m'aider a comprendre ces deux egalités ?


merci par avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Tu disposes
– d'une application linéaire : ;
– d'un supplémentaire de dans : .

Tu considères la restriction de à : .
Il faut bien comprendre que la seule différence entre et est l'ensemble source, mais que, pour un donné, on a dès que les deux membres de l'égalité sont définis.

Par suite :
– , les premières égalités étant l'explicitation des définitions des objets considéres, la dernière provenant de la décomposition de en sous-espaces supplémentaires ;
– , tout ceci n'étant que l'explicitation des définitions des objets considérés. ; on utilise seulement le fait que soit un sous-espace de , n'intervient pas.

[invite69d45bb4]

mais pourquoi g(x)=f(x) je ne comprends pas ton explication

[invite57a1e779]

mais pourquoi g(x)=f(x) je ne comprends pas ton explication

C'est la définition d'une restriction : on change l'ensemble source de l'application, et rien d'autre.

La restriction de à est , mais c'est bien la même valeur, ici , que tu noteras ou suivant l'intervalle auquel appartient , et bien évidemment, pour , tu as le choix entre et pour noter .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

ok

maintenant prenons la reciproque

soit y appartient à Im f ce qui signifie que il existe au moin un element x de E qui verifie
y=f(x) comme E est somme directe de G et de ker f alor x=x1+X2 avec x1 appartient à G et x2 appartient à ker f
f(x)=f(x1)+f(x2) alors f(x2)=0.


pourquoi on a f(x2)=0


merci par avance

[invite57a1e779]

avec ... et x2 appartient à ker f

pourquoi on a f(x2)=0

La réponse est dans la question...

[invite69d45bb4]

ben j'ai regarder je trouve pas .
pourquoi la reponse est dans la question il n'y a rien qui indiquent que
f(x2)=0

[invite57a1e779]

x2 appartient à ker f

Qu'est-ce que ça veux dire ?

[invite69d45bb4]

c'est bon je vien de comprendre .

x2 app à ker f veux dire que f(x2)=0 par definition du noyau

[invite57a1e779]

Tout simplement.

[bubulle_01]

c'est bon je vien de comprendre .

x2 app à ker f veux dire que f(x2)=0 par definition du noyau

Essaye de relire ton cours avant de t'attaquer à des exos, car là c'est tout bêtement une définition qui t'a posé problème ...
(Ceci est un conseil, simplement.)