rang

[invitefa636c3d]

bonsoir ,

j'ai une petite question toute bète:

l'application qui à une matrice associe son rang est elle continue???
et pourquoi bien sûr?

c'est pas linéaire cette affaire, non?

merci
jameso
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[mermoz]

salut
c'est pas lineaire ...un contre exemple peut le prouver .
Le rang est inferieur à la dimension : n pour montrer la continuité il faudrait une norme sur l'ensemble des matrices appropriée : pour qu'on ait : rg(A)<ou egal à K*norme(A).
K>0 une constante

[inviteca3a9be7]

Salut James,


Elle est pas continue (bien sûr) : rg (1/k * I_n) = n et rg(0)=0.

Autre argument (plus topologique et généralisable à toute fonction d'un e.v.n. dans IN) : Mn(K) est connexe (convexe c'est tout dire ) mais une partie de IN ne l'est que si elle est réduite à un singleton. Comme la fonction rang n'est pas constante ...

[invite3f7c70f2]

Salut, pas si sur que ca!
Je suis pas sur que l'on puisse parler de continuité sur N (qu'il fallait précisé)
Elle est déjà pas continue sur R, mais je pense pas que ca te pose soucis je pinaille désolé ) .

L'application qui à une matrice associe son rang est une application de l'ensemble des matrice dans N(ensemble des entier naturel).
Peut-on parler de continuité sur N, car si ce que j'entend par connexité est juste,
N n'est pas connexe car il n'existe rien appartenant et N et compris entre 1 et 2 exclus (demande de confirmation).
A tu déja entendu parlé d'application continue sur N?

La définition la plus générale que j'ai de la continuité concerne les applications d'un Ev dans un autre mais elle fait intervenir la notion de norme.

Il s'ajoute à cela que (N,+) n'est pas un groupe déjà(car tout element de N n'est pas symétrisable pour +) donc (N,+,.). On ne peut former un espace vectoriel sur aucun corps (R,.,+) et (C,+,.)).

En fait, en gardant l'esprit de la continuité, dire que ton application est continue sur N signifierait que l'on peut toujours en se rapprochant (au sens d'une norme matricielle) d'une certaine matrice atteindre n'importe qu'elle valeur de N, en gros en fesant tendre une matrice vers une limite atteindre n'importe quel valeur de N en limite.

Ce qui n'a aucun sens à mon gout.
1) Une norme matricielle est par ex:
somme des |ai| avec ai coefficient de la matrice. Or vis à vis de l'application "rang",
ca na aucun sens, l'application rang porte sur le "nombre de vecteur" lié dans la matrice donc n'a aucun rapport avec l'importance de son plus gros coefficient.
Si tu t'y connais un peu en norme (désolé j'ignore ton niveau ) ), tu remarque que le critère rang n'est jamais sous-jacent au choix de la norme. (pour étendre ton horizon sur les normes, valeur absolue et module sont 2 des normes les plus simple sur R et C)
En bref, tu peux pas te rapprocher (pour ce que je sache d'une matrice) au sens de se rapprocher de son rang.

Tu as certainement déja rencontré f:N--->R est continue en x0
<=> pour tout epsilon>0 il existe N tel que pour tout n>N |f(n)-x0|<epsilon
(médite la dessus)

Par ailleur, si on pouvait parler de cette continuité, je pense qu'on m'aurait quelque par souligné que la fonction prenant pour valeur 0 ou 1 était continue sur N et pas dans R ;o)

Voilà c'est pas ultra-précis mais je pense et j'espère que ca t'aidera. Sinon, les notions de continuité que j'invoque sont ni plus ni moins que des généralisations de celle de la continuité des fonctions de R dans R, des suites réelles. Je ne donne pas toutes les définitions ce serait attroce sans quantificateurs.
Si tu es à bac+1 tu les vera l'année prochaines.
Ciao.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

merci beaucoup µ²;

[Quinto]

Salut, pas si sur que ca!
Je suis pas sur que l'on puisse parler de continuité sur N (qu'il fallait précisé)
A tu déja entendu parlé d'application continue sur N?

Bien sur.

La définition la plus générale que j'ai de la continuité concerne les applications d'un Ev dans un autre mais elle fait intervenir la notion de norme.

Dans un espace topologique on peut définir la continuité de f, comme étant la propriété:
f est continue de A dans B si pour tout ouvert de B, son image réciproque par f est un ouvert de A.

Il s'ajoute à cela que (N,+) n'est pas un groupe déjà(car tout element de N n'est pas symétrisable pour +) donc (N,+,.). On ne peut former un espace vectoriel sur aucun corps (R,.,+) et (C,+,.)).

Quel est le rapport ???????

[shokin]

bonsoir ,

j'ai une petite question toute bète:

l'application qui à une matrice associe son rang est elle continue???
et pourquoi bien sûr?

c'est pas linéaire cette affaire, non?

merci
jameso

C'est pas linéaire : deux matrices dont l'une est multiple (par un réel) de l'autre sont de même rang.

Ce n'est pas continu, le rang est toujours entier.

Non, je n'ai pas entendu parler de continuité dans N ou dans Z.
ça voudrait dire quoi ? une fonction continue avec des matrices ?

Shokin

[Quinto]

Bein déja je crois que vous ne comprenez pas bien que N est ici l'ensemble d'arrivé, donc je ne vois pas bien ou est le probleme:
La fonction de R dans N définie par f(x)=1 est bien continue.


Ensuite, à titre indicatif, on peut définir la continuité dans n'importe quel espace topologique de la manière que j'ai indiquée plus haut:

f est continue de A dans B si pour tout ouvert de B, son image réciproque par f est un ouvert de A.(respectivement avec les fermés)

La démonstration de µ² est dont parfaite.(sans faillotage aucun)

[martini_bird]

Salut,

Quinto, connais-tu une topologie sur N autre que la topologie triviale?

Toutes les fonctions définies sur N sont donc continues et la continuité n'apporte rien dans ce cas, non?

[inviteca3a9be7]

Bonjour,

je suis parti du principe (non dit mais sous-entendu) que la topologie placée sur Mn(K) était celle d'une norme (quelconque) et que celle de IN était celle associée à la norme |.|.

Si on prend d'autres topologies, le rang peut être continue (intérêt limité quand même).


Une fonction d'un espace connexe dans IN a du mal à être continue si elle n'est pas constante. Une fonction de IN dans IN est toujours continue (pour |.|).

[inviteca3a9be7]

Tiens James, un exo (marrant et instructif ?) : montre que le rang est semi-continu supérieurement (à défaut d'être continu).