rang de matrices

[invitef203a791]

Bonjour,

Je bloque sur un exo concernant un rang de matrice:

On prend une matrice carrée réelle d'ordre n : A = BC avec B de type (n,r) et C de type (r,n) et B et C de rang r, et A est symétrique. Il faut montrer que CB est aussi de rang r.

J'arrive bien sûr à avoir A de rang r mais ensuite je ne vois pas bien comment obtenir quelque chose sur CB. J'ai aussi dit que A est diagonalisable avec une matrice de passage orthogonale et 0 valeur propre de multiplicité n-r mais cela sert-il?

Si quelqu'un peut m'aider pour me décoincer...
Merci d'avance.
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[erff]

En se plaçant dans la base qui diagonalise A : soit P la matrice de passage
on voit que P(-1)A²P est de rang r donc que A² est de rang r car P est inversible donc que P(-1)BCBCP est de rang r donc que B(CB)C est de rang r (car P est inversible)...Que se passe t-il si rg(CB) < r ? (sachant que CB est de type (r,r) son rang ne dépasse pas r)

[invitef203a791]

Grand merci.
J'ai rg(B(CB)C)<= min(rg(B),rg(CB),rg(C)) donc r<= min(r,rg(CB))=rg(CB) or comme tu l'as dit CB est carrée d'ordre r donc rg(CB)<=r et c'est terminé.