Base ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, je souhaiterai avoir quelques éclaircissements On appelle base de E (un espace-vectoriel) toute famille libre et génératrice, ou de manière équivalente, une famille telle que tout vecteur puisse s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire finie de ses éléments. Il en vient donc une certaine "difficulté" pour définir des bases de certains espaces vectoriels, surtout les espaces de dimension infinie. Par exemple on peut remarquer que pour les suites la famille avec (le n_ème terme, et le symbole de Kroenecker) est clairement une famille libre. Mais à mes yeux elle est génératrice, non pas au sens usuel mais au sens des "séries" avec . Bien sûr je conçois que l'on ne peut pas "sans risque" écrire une somme infinie. Cette famille là serait donc en quelque sorte génératrice... mais bien sûr cela ne colle pas car on peut ajouter encore d'autres suite tels que la famille reste toujours libre, tel que la suite constante égale à 1. Mes questions sont les suivantes:

Peut-on bien écrire , ou alors faut il se donner quelques précautions comme des hypothèses de convergence etc, mais encore, pour quelle distance ??

Si l'on peut écrire cela, peut on alors décrire un peu à la manière matricielle, toutes les applications linéaires comme étant des doubles suites (en associant canoniquement à la famille définie plus haut) comme des doubles suites avec pour tout fixé, une suite presque nulle de telle manière que . (nombre fini de termes, comme il est marqué précédemment car sinon on pourrait facilement créer une suite rendant divergente la somme précédente).

Existe il une description simple d'une base de ou alors est-ce un peu comme les boréliens, on sait que çà existe, mais pas trop ce qu'il y a dedans (pour être grossier).

Merci RoBeRTo-BeNDeR
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[gg0]

Bonsoir.

une famille telle que tout vecteur puisse s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire finie de ses éléments.

Mais à mes yeux elle est génératrice, non pas au sens usuel mais au sens des "séries" avec

Tes deux affirmations se contredisent, et tu en as bien conscience. Tu n'as pas défini une base.
Il y a de nombreux cas d'espaces vectoriels pour lesquels on est incapable d'exhiber une base. Mais ces espaces de dimension infinie ne s'explorent pas de cette façon-là. En fait, tu es entrain d'essayer d'exporter en dimension infinie le habitudes des dimensions finies. Ce qui est ici une mauvaise idée.

Par contre, dans les espaces hilbertiens, l'existence de "bases hilbertiennes" orthonormales est un outil extrêmement efficace. Mais il ne s'agit plus de bases au sens que tu proposais. Tu peux aller étudier ce domaine, qui répond en partie à ta question.

Cordialement.

NB : Pour , la question de la convergence ne se pose pas, puisque cette écriture est purement formelle. D'ailleurs, pour parler de convergence, la structure d'espace vectoriel ne suffit pas, il faut aussi une structure topologique (limites, ouverts, ..) qui n'existe pas ici.

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux également regarder la notion de base de Schauder pour les espaces de Banach. L'inconvénient est que tout espace de Banach de dimension infinie n'admet pas nécessairement une base de Schauder : un espace admettant une telle base est nécessairement séparable, donc est un tel contre-exemple. Néanmoins, on sait que tout espace de Banach de dimension infinie admet un sous-espace admettant une base de Schauder (ce qui permet de montrer notamment que tout espace de Banach de dimension infinie est nécessairement de dimension indénombrable en injectant dans un tel espace).

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci pour vos réponses je vais regarder tout cela

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Une discussion sur un autre forum, qui peut vous intéresser : http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?4,768205

Bonne journée.