mesure de Haar sur le groupe des rotations

[invite69d38f86]

Bonjour

Je suis tombé sur un lien concernant le groupe G des rotations.
j'y lis ceci (utilisant les angles d'Euler)

La métrique G-invariante sur le groupe, obtenue via la forme de Killing-Cartan
sur l’algèbre, est :
ds2 = dψ ⊗ dψ + sin2 ψ (dθ ⊗ dθ + sin2 θ dφ ⊗ dφ) ,
si (θ, φ) sont les coordonnées polaires de n
on obtient via la forme de Killing, une métrique G-invariante.

La mesure de Haar sur SU(2) (non-normalisée) s’en déduit : dg = sin2 ψ sin θ dψ dθ dφ

Je ne vois pas comment. Quelqu'un peut il commenter?
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[invite69d38f86]

J'ai trouvé le détail des calculs ici
Il me reste à comprendre le lien avec la forme de Killing.

[invite69d38f86]

J'avais oublié ce fil.

Je ne vois pas le lien entre la forme (bilinéaire) de Killing et la mesure de Haar sur un groupe de Lie G.
En effet pour un groupe de Lie à n générateurs il faudrait trouver une n-forme pour l'appliquer à
n vecteurs tangent à l'unité. Y a t il une façon canonique de le faire à partir de la forme de Killing?

[0577]

Bonjour,

Soit G un groupe de Lie. Pour constuire une mesure de Haar, disons invariante à gauche,
sur G, il suffit de construire une métrique riemannienne sur G invariante à gauche
et de prendre la forme volume associée.
Pour construire une métrique riemannienne sur G invariante à gauche, il suffit d'avoir
un produit scalaire sur l'algèbre de Lie (on trouve une métrique invariante en transportant ce
produit scalaire par les translations de G du bon côté).
La forme de Killing est une forme bilinéaire sur l'algèbre de Lie. Si G est semi-simple et compact
alors la forme de Killing (ou son opposée suivant les conventions)
est un produit scalaire sur l'algèbre de Lie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

J'ajoute que si une métrique s'écrit localement
alors la mesure associée s'écrit localement .
En particulier, le calcul permettant de répondre à la première question sur la mesure de Haar de SU(2)
est évident.

[invite69d38f86]

Merci pour l'explication
J'ai regardé "forme volume" sur wikipédia.