Intégrabilité de la fonction constante 1

[invitea105e18a]

Bonsoir,

Je me demandais si la fonction constante 1 était intégrable sur un intervalle tel que ]0,1]. Je pense que oui, étant donné qu'en 0 il n'y a pas de problème particulier normalement...mais si oui comment le montrer correctement ?

En fait, c'est pour montrer que la fonction [t->(arctan t/t)^2] est intégrable sur R*+. En +infini ça va et en 0 j'essaye de passer par un équivalent, et j'obtiens que la fonction est équivalente à [t->1], et la ça coince. Je vois pas trop comment faire autrement sinon...

Merci d'avance pour votre aide !
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[gg0]

Bonsoir.

Une fonction continue sur ]0;1] et prolongeable par continuité en 0 est bien évidemment intégrable et a la même intégrale que son prolongement.

Cordialement.

[invitea105e18a]

Est ce qu'on peut dire directement que f:[t->(arctan t/t)^2] est continue sur ]0,1] et que sa limite en 0 est f'(0) ? Donc f serait prolongeable par continuité en 0 et donc intégrable sur [0,1]...non ?

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Sa limite en t->0 c'est 1 ce qui permet de la prolonger et de démontrer son intégrabilité oui. Par contre j'éviterais a priori d'écrire f'(0) lorsque je ne sais pas que la fonction f est définie en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

mais si oui comment le montrer correctement ?

Quelle est ta définition d'"être intégrable"? Quelle est ta définition de l'intégrale? Sur quel ensemble de départ est définie ta fonction?

Enfin, en supposant que l'on prolonge par 0 en dehors de A= ]0,1]

Alors, pour l'intégrale de Lebesgue, on a, par définition de l'intégrale (et de la mesure le Lebesgue):



Pour l'intégrale de Riemann, on peut se placer sur [0,1], calculer, si on a défini l'intégrale de cette façon, les sommes de Darboux pour une subdivision quelconque de [0,1] (c'est extrêmement facile ici), et c'est évident de minimiser l'écart entre la somme de Darboux supérieure et inférieure, et on a par définition l'intégrabilité


Ça c'est pour les preuves directes.


Après tu as le magnifique théorème "si une fonction est bornée sur [a,b] et continue sauf en un nombre fini de points, alors elle est intégrable sur [a,b]"