composition des rotations en Relativité

[invite8915d466]

je pose cette question à partir d'un fil qui a rapidement tourné court sur la Relativité , mais qui était surement plus intéressant à mon avis que ce que peut être l'auteur même imaginait (je ne retrouve même plus mes propres posts sur ce fil, qui semble avoir totalement été effacé?)

. Pour rappel : il demandait ce qui empechait de construire un disque par exemple dont le bord extérieur tournait à 200 000 km/s par rapport à son support, puis, de faire tourner le support (dans le même sens) , lui aussi à 200 000 km/s, ce qui voudrait dire que le disque tournerait finalement à 400 000 km/s > c (pas sur que ce soit les valeurs numériques qu'il avait proposées, mais l'idée y est).

je vais eviter un exposé didactique en posant une "simple" question : quelle est la loi de composition des vitesses de rotation en Relativité ?
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[obi76]

Cette discussion a été effacée de mon initiative pour des raisons que koebner connait.

Pour la modération,

[invite60be3959]

. Pour rappel : il demandait ce qui empechait de construire un disque par exemple dont le bord extérieur tournait à 200 000 km/s par rapport à son support, puis, de faire tourner le support (dans le même sens) , lui aussi à 200 000 km/s, ce qui voudrait dire que le disque tournerait finalement à 400 000 km/s > c (pas sur que ce soit les valeurs numériques qu'il avait proposées, mais l'idée y est).

je vais eviter un exposé didactique en posant une "simple" question : quelle est la loi de composition des vitesses de rotation en Relativité ?

Bonjour,

en fait les vitesses dont tu parles sont des vitesses linéaires et non des vitesses de rotation (on parle de vitesse angulaire plutôt, ou de fréquence de rotation). A un instant donné on peut tout à fait considérer que les vecteurs vitesse à composer sont parallèles et de même sens. On utilise alors la loi de composition des vitesses en RR et on obtient le même résultat : impossible de dépasser "c" de cette manière.
Quant à la loi de compositoin des vitesses de référentiels non-inertiels en RR, cela n'existe pas à ma connaissance puisque la RR est justement restreinte aux réfrentiels inertiels. Mais je pense que l'on peut en obtenir une tout de même en faisant un parallèle avec celle issue de la mécanique classique(vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d'entrainement, le tout en vecteur).

[Amanuensis]

Question préalable : la composition en espace-temps classique...

Soit un référentiel R1. Soit un référentiel R2 en rotation uniforme de centre immobile par rapport à R1, dont le champ de vitesse (dans R1), invariant dans le temps, est donné par le torseur , avec donc .

Soit R3 en rotation par rapport à R2, de centre immobile par rapport à R2, donné par le torseur .

Quel est le torseur donnant le champ de vitesse de R3 par rapport à R1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8915d466]

Quant à la loi de compositoin des vitesses de référentiels non-inertiels en RR, cela n'existe pas à ma connaissance puisque la RR est justement restreinte aux réfrentiels inertiels. Mais je pense que l'on peut en obtenir une tout de même en faisant un parallèle avec celle issue de la mécanique classique(vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d'entrainement, le tout en vecteur).

absolument, je parle de vitesses angulaires. Ma question porte donc sur la composition de vitesses angulaires dans des référentiels en rotation. Il n'y a effectivement pas de réponse simple puisque ce sont des référentiels non inertiels, néanmoins, il y a bien une réponse concrète , si un observateur inertiel voit un autre observateur O' tourner avec Omega1 rad/s dans son référentiel, et que O' voit O'' tourner avec Omega2 rad/s dans son référentiel à lui, que voit O pour O" ?

[Amanuensis]

si un observateur inertiel voit un autre observateur O' tourner avec Omega1 rad/s dans son référentiel

J'ai du mal à donner une signification rigoureuse à cette phrase dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski. Comment la traduire avec des maths pures et dures ?

[invite8915d466]

J'ai du mal à donner une signification rigoureuse à cette phrase dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski. Comment la traduire avec des maths pures et dures ?

c'est pas étonnant, ça pose des tas de problèmes .

Déjà quelques petites remarques préliminaires, en ne prenant que deux systèmes en rotation l'un par à l'autre, dont un est inertiel :

* la rotation n'est pas symétrique quand on fait la transformation inverse : en effet une horloge en mouvement par rapport à un référentiel inertiel est ralentie par le facteur gamma. Entre deux coincidences avec une horloge fixes (qui sont deux "évènements" coincidant spatiotemporellement ) , le temps indiqué par l'horloge inertielle ne sera pas le même que celui indiqué par l'horloge en mouvement. La fréquence de rotation étant l'inverse de ce temps, elle se sera pas numériquement la même pour les deux référentiels.

* la rotation ne peut etre "solide" dans le sens omega = cste puisque pour la même raison, si on s'éloigne radialement, les horloges extérieures tournent plus vite et donc indiquent des temps de plus en plus courts entre deux tours.

* il y a un problème pour synchroniser les horloges en mouvement sur la circonférence : si elles sont synchronisées pour un observateur extérieur, elles ne le sont plus dans le référentiel en mouvement. Si l'observateur en mouvement entreprend de les "resynchroniser" en les décalant de proche en proche, le décalage est toujours dans le même sens au fur et à mesure qu'il progresse sur la circonférence , et donc, au bout d'un tour complet ... il ne pourra plus synchroniser l'horloge de départ avec elle même ! c'est un exemple de référentiel non inertiel "non synchronisable" que j'ai mentionné dans certains posts ...

donc manifestement ça demande un peu de soin de définir ce qu'on appelle "vitesse angulaire" dans un référentiel non inertiel ...

[invite60be3959]

* il y a un problème pour synchroniser les horloges en mouvement sur la circonférence : si elles sont synchronisées pour un observateur extérieur, elles ne le sont plus dans le référentiel en mouvement. Si l'observateur en mouvement entreprend de les "resynchroniser" en les décalant de proche en proche, le décalage est toujours dans le même sens au fur et à mesure qu'il progresse sur la circonférence , et donc, au bout d'un tour complet ... il ne pourra plus synchroniser l'horloge de départ avec elle même ! c'est un exemple de référentiel non inertiel "non synchronisable" que j'ai mentionné dans certains posts ...

donc manifestement ça demande un peu de soin de définir ce qu'on appelle "vitesse angulaire" dans un référentiel non inertiel ...

Bonjour,

il me semble que cela est quand même possible en tenant compte de l'effet Sagnac, non ?

[invite60be3959]

Bon après quelques recherches, le traitement du problème ne peut se faire rigoureusement que dans le cadre de la relativité générale, même si la variété à 4D est plate comme cela est montré ici. Donc, à nos crayons !

[Amanuensis]

ne peut se faire rigoureusement que dans le cadre de la relativité générale, même si la variété à 4D est plate

J'ai déjà vu cette affirmation plusieurs fois, mais elle continue à me mettre mal à l'aise. J'y vois une sorte de contradiction (entre RG et plat), qui laisse penser (qui confirme, plutôt) que par "relativité générale" sont entendues des choses assez différentes.

Perso, je préfère garder le terme RG à la théorie dans laquelle s'applique l'équation d'Einstein reliant courbure et densité d'énergie-quantité de mouvement. Choix personnel, j'en conviens.

D'ailleurs, la référence donnée n'affirme pas que le calcul se fait dans le cadre de la relativité générale, il me semble. Il est juste indiqué, ce qui me gêne bien moins, que des outils de la RG sont utilisés, non ?

[invite60be3959]

D'ailleurs, la référence donnée n'affirme pas que le calcul se fait dans le cadre de la relativité générale, il me semble. Il est juste indiqué, ce qui me gêne bien moins, que des outils de la RG sont utilisés, non ?

Oui c'est en partie vrai puisque l'espace-temps est ici toujours plat, mais la métrique n'est plus celle de l'espace-temps de Minkowski. On est donc plus dans le cadre des coordonnées lorentziennes qui traite uniquement des boosts longitudinaux(changement de coordonnées d'un référentiel iniertiel à un autre référentiel inertiel). On est ici à la frontière entre la RR et la RG. L'espace-temps à considéré n'est plus celui de Minkowski, mais la gravitation ne rentre pas en compte dans notre problème.

[invite93279690]

J'ai déjà vu cette affirmation plusieurs fois, mais elle continue à me mettre mal à l'aise. J'y vois une sorte de contradiction (entre RG et plat), qui laisse penser (qui confirme, plutôt) que par "relativité générale" sont entendues des choses assez différentes.

Perso, je préfère garder le terme RG à la théorie dans laquelle s'applique l'équation d'Einstein reliant courbure et densité d'énergie-quantité de mouvement. Choix personnel, j'en conviens.

D'ailleurs, la référence donnée n'affirme pas que le calcul se fait dans le cadre de la relativité générale, il me semble. Il est juste indiqué, ce qui me gêne bien moins, que des outils de la RG sont utilisés, non ?

Salut,

C'est juste une question de terminologie. En 1905, on a eu la RR qui ne s'appliquait qu'aux référentiels galiléens et 10 ans plus tard on avait la RG qui s'appliquait à tout et incluait la gravitation. Comme il n'y a pas de truc entre les deux avec des référentiels non galiléens et sans gravitation il parait "logique" de penser que l'acquis de la RG s'applique aussi en espace plat, d'où le "il faut le faire en RG".

D'un point de vue conceptuel, je pense qu'on a tout de même besoin de la RG car cette dernière précise les differences et pointe les ressemblences entre forces d'inertie et gravitation.

[Amanuensis]

Oui c'est en partie vrai puisque l'espace-temps est ici toujours plat, mais la métrique n'est plus celle de l'espace-temps de Minkowski.

Elle n'a plus la forme canonique de la métrique, mais c'est bien toujours la même métrique, non ? Ce serait comme dire que la métrique euclidienne exprimée en coordonnées sphériques n'est plus euclidienne.

L'espace-temps à considéré n'est plus celui de Minkowski

Pareil. Pour moi le modèle d'espace-temps est inchangé, seuls changent le référentiel et le système de coordonnées, il me semble.

C'est juste une question de terminologie.

Oui, d'une certaine manière. Mais mes questions ci-dessus en réponse au message de Vaincent montrent qu'il y a des ambigüités ou des points pas clairs au-delà d'un simple problème de terminologie.

D'un point de vue conceptuel, je pense qu'on a tout de même besoin de la RG car cette dernière précise les differences et pointe les ressemblences entre forces d'inertie et gravitation.

Je ne comprends pas. Gravitation <=> courbure non nulle, c'est ça ?

[invite60be3959]

Elle n'a plus la forme canonique de la métrique, mais c'est bien toujours la même métrique, non ? Ce serait comme dire que la métrique euclidienne exprimée en coordonnées sphériques n'est plus euclidienne.

La subtilité ici est que l'espace-temps reste plat, mais pas l'espace. La métrique spatiale est courbe et cela est dû au fait(en tout je pense) que l'observateur tournant subit une accélération centripète, qui, selon le principe d'équivalence(fort) ne peut pas être différencié d'un champs gravitationnel. Gravitation <-> courbure.

[Amanuensis]

La subtilité ici est que l'espace-temps reste plat, mais pas l'espace.

Oui, mais qu'est-ce que l'espace en relativité restreinte ???

L'espace-temps de Minkowski a une structure affine et une métrique telles qu'il n'y a pas de définition canonique de l'espace.

La question si un espace 3D tel que la métrique induite soit euclidienne ait un sens physique particulier ne me semble pas avoir une réponse positive évidente. Pourquoi le choix d'un référentiel à courbure non nulle serait moins "RR" que le choix d'un référentiel plat ? Je continue à me demander si la différence est plus profonde qu'entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires en euclidien 3D par exemple !

selon le principe d'équivalence(fort) ne peut pas être différencié d'un champs gravitationnel. Gravitation <-> courbure.

Courbure spatio-temporelle ou courbure spatiale ?

Si Gravitation <-> courbure spatio-temporelle, alors on peut parfaitement distinguer un champs gravitationnel d'un choix de référentiel courbe d'un espace-temps plat.

Question : peut-on trouver un référentiel plat (i.e., dont la métrique induite est plate dans un ouvert non vide) dans le cas d'un espace-temps de courbure spatio-temporelle non nulle (une variété munie d'une métrique de signature (3,1) telle que la courbure de la connexion de LC soit non nulle dans l'ouvert en question) ?

Et si c'est courbure spatiale, alors la distinction est arbitraire : un observateur tournant a la possibilité de choisir un référentiel plat, et donc aurait la possibilité de choisir gravitation ou non gravitation ; pourquoi pas, mais ça me paraît pas satisfaisant.

[invite8915d466]

Question : peut-on trouver un référentiel plat (i.e., dont la métrique induite est plate dans un ouvert non vide) dans le cas d'un espace-temps de courbure spatio-temporelle non nulle (une variété munie d'une métrique de signature (3,1) telle que la courbure de la connexion de LC soit non nulle dans l'ouvert en question) ?

tu veux dire la métrique spatiale plate dans une espace temps courbe? oui bien sur c'est le cas de la métrique de Robertson-Walker avec une densité critique par exemple : mais on ne peut pas dire qu'il n'y a pas de gravitation !

[Amanuensis]

tu veux dire la métrique spatiale plate dans une espace temps courbe? oui bien sur c'est le cas de la métrique de Robertson-Walker avec une densité critique par exemple

J'y ai pensé quelque chose comme une heure après avoir posté le message.

Mais...

: mais on ne peut pas dire qu'il n'y a pas de gravitation !

... je me suis posé la question s'il y avait alors un champs d'accélération ou des effets de marée, c'est-à-dire ce à quoi on réfère usuellement sous le mot gravitation. Et je n'ai pas trouvé de réponse, et j'avais laissé la recherche en plan.

Je sais bien que l'expansion est un phénomène gravitationnel, là n'est pas la question.

C'est plutôt si l'existence d'un référentiel de métrique induite plate se traduit par autre chose que l'expansion métrique. Est-ce observable autrement que par le décalage vers le rouge ou autre conséquence directe de l'expansion métrique ?

[invite8915d466]

Je sais bien que l'expansion est un phénomène gravitationnel, là n'est pas la question.

C'est plutôt si l'existence d'un référentiel de métrique induite plate se traduit par autre chose que l'expansion métrique. Est-ce observable autrement que par le décalage vers le rouge ou autre conséquence directe de l'expansion métrique ?

il existe des critères simples de la présence d'un tenseur de courbure spatio-temporel non nul, par exemple la déviation géodésique : qu'il est impossible de maintenir à distance constante (ou plus généralement à vitesse relative constante, éventuellement nulle) des particules en chute libre (ce qui est totalement indépendant du choix de coordonnées, ça s'exprime par l'expérience "intrinsèque" de tester si des échanges de signaux lumineux entre particules en chute libre peuvent correspondre à des temps d'AR constants, ou plus généralement variant linéairement). Evidemment dans un univers en expansion c'est impossible, mais c'est plus généralement un critère univoque de la présence d'un tenseur de courbure spatio temporel (la dérivée covariante de l'accélération du "vecteur" séparant les deux particules s'exprime linéairement par rapport au tenseur de Riemann, c'est en réalité l'effet de marée justement).
amicalement

Gilles

[Amanuensis]

L'effet de marée "traditionnel" est orienté dans l'espace. Par symétrie, il me semble qu'il est nécessairement nul s'il existe un référentiel plat (de métrique induite plate), non?

Si je visualise les géodésique par la poignée de grains de café chère à Baez, si la métrique spatiale est plate, il n'y a pas "d'ellipsoidisation" de l'essaim, mais il peut y avoir une expansion ou une impansion () de symétrie sphérique, non ?

Réciproquement (et c'est surtout cela qui me trouble), si on constate de la gravitation "traditionnelle" (effet de marée orienté) alors cela implique qu'il n'existe pas de référentiel de courbure nulle (sauf peut-être en un point ?), correct ?

[invite8915d466]

L'effet de marée "traditionnel" est orienté dans l'espace. Par symétrie, il me semble qu'il est nécessairement nul s'il existe un référentiel plat (de métrique induite plate), non?

ça dépend de ta définition, en tout cas il existe un effet de déviation géodésique au sens où je l'ai défini (2 points en chute libre ne peuvent pas rester à vitesse relative constante). Mais effectivement dans le cas d'un espace plat, ça ne me parait compatible qu'avec une expansion isotrope d'ensemble (une métrique du genre
) , mais c'est à vérifier ...