Polynômes unitaires sur Z[X]

[yootenhaiem]

Bonjour F.S,

Voici un énoncé que je vous prie de lire:

Soit P un polynôme unitaire à coefficients entiers dont toutes les racines dans C sont non nulles et ont un module inférieur ou égal à 1. Montrer que pour chaque racine z, il existe un entier naturel non nul tel que z^m=1.

J'ai peut être une réponse mais elle rend l’exercice trop simple pour être vrai vu que des camarades m'ont propose des théorèmes forts comme Kronecker...

Prenons cette fameuse relation entre racines et coefficients qui fait intervenir les polynomes symetriques elementaires, on a
, ou a_n est le coefficient du plus bas degré(Il est non nul car zero n'est pas racine du polynôme). Puisque c'est un entier alors son module est supérieur ou égal a 1 et par suite |Hn|>1 ou |Hn|=1. Ce qui implique les racines sont toutes de module 1.
Mais cela ne prouve pas l'existence de l'entier m pour chaque solution.
Help
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[yootenhaiem]

Hn=z1*z2*z3*...*zn=(-1)ⁿa_n.
Pardon pour la syntaxe

[Snowey]

Comment le montrer avec le théorème de Kronecker ? (je suis juste curieux)

Il te reste à montrer qu'elles sont "d'exposants rationnels de π" , c'est ça ?

[invite76543456789]

Bonjour,
Le resultat que t'essaie de montrer c'est le lemme de kronecker! Il dit que tout entier algébrique tel que lui et tous ses conjugués sont de modules 1 sont des racines de l'unité.
Pour le démontrer il suffit de regarder les relations coefficients racines, les cofficients d'un tel polynome sont borné. Et il suffit de remarquer que si on regarde le polynome minimal des puissances de z, alors tous ces polynomes minimaux ont le meme degré, et comme toutes les puissances de z sont des entiers algébrique, tu as une infinité de polynome a coefficients dans Z, de degré borné et a coeff bornés. Il n'y en a qu'un nombre fini, donc deux sont egaux... et conclu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yootenhaiem]

Bonsoir,

Je m'excuse pour cette absence imprévue.
Je ne comprend pas vraiment votre enchainement.
Les relations racines coefficients sont plusieurs. devrais je prendre celle que j'ai mentionnée?
Ensuite, de quel polynôme minimal parlez vous?
Pourriez vous développer encore plus votre point de vue? Merci.

[yootenhaiem]

Pour Snowey:
Oui c'est ce qu'il me reste a faire.

[Snowey]

Re-bonjour

Je ne peux répondre qu'à la première question, mais je le fais (en espérant ne pas déranger MissPacMan!)
Tout polynôme, unitaire, s'écrit sous la forme .
Or .
Par inégalité triangulaire, on trouve donc que .

On a alors montré, je crois, que l'ensemble des polynômes unitaires de dont les racines ont un module inférieur ou égal à 1 est fini.

Sans vouloir anticiper la réponse de MacPissMan, je pense qu'en conséquence on s'interesse à une famille de polynôme, qui sera dans cet ensemble fini, et pourtant qui sera infinie (manque d'injectivité quelque part, en gros).
Les polynômes minimaux des puissances des racines de P me semblent être les (ils sont bien de même degré, appartiennent aux polynômes dont il est question plus haut, et sont en nombre infini), mais celà reste à confirmer !

Bonne chance

PS: MacPissMan, comment faire pour avoir ces intuitions là ?

Bonne journée !

[yootenhaiem]

Bonsoir,

C'est parfait votre démonstration.
J'ai les larmes aux yeux tellement la rigueur me rempli de joie.
Bonne soirée, Snowey.

[Snowey]

Je n'ai fait qu'interpréter (réécrire en fait) les premières lignes de MisspacMan, et la démonstration n'est pas totalement finie je crois ... !

:P

[0577]

Bonsoir,

par exemple, il faudrait justifier pourquoi (notation de Snowey) est a coefficients entiers.
En fait, c'est justifie dans le message de MissMacPan mais est-ce clair pour tout le monde ?

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Désole pour l'absence.
J'ai fini la démonstration et ce qu'ont dit Snowey et Pacman est l'essence de la démonstration. Il fallait en fait remarquer que les racines des polynômes se répétaient et donc {z^k,k entier} est un groupe fini.
Cordialement,
M.