Bonjour F.S,
Voici un énoncé que je vous prie de lire:
Soit P un polynôme unitaire à coefficients entiers dont toutes les racines dans C sont non nulles et ont un module inférieur ou égal à 1. Montrer que pour chaque racine z, il existe un entier naturel non nul tel que zm=1.
J'ai peut être une réponse mais elle rend l’exercice trop simple pour être vraivu que des camarades m'ont propose des théorèmes forts comme Kronecker...
Prenons cette fameuse relation entre racines et coefficients qui fait intervenir les polynomes symetriques elementaires, on a
, ou an est le coefficient du plus bas degré(Il est non nul car zero n'est pas racine du polynôme). Puisque c'est un entier alors son module est supérieur ou égal a 1 et par suite |Hn|>1 ou |Hn|=1. Ce qui implique les racines sont toutes de module 1.
Mais cela ne prouve pas l'existence de l'entier m pour chaque solution.
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