Nombres premiers,combinatoire et multiplications

[rapasite]

Salut a Vous mathématicien,


Voila ça fait pas mal d'années que je m’intéresse a la structure de l'ensemble des nombres premiers sous différents angles je déduit pas mal de trucs mais j'ai toujours eu le malheur (ou le bonheur) de voir que ça avais déjà été fait.

J'en suis arriver a me posée la question sous un angle combinatoire mais il y a un problème de conceptualisation de la multiplication dans mon raisonnement.

je m'explique:

Les nombres premier sont les nombres qui sont divisible(qui renvoi un résultat entier après division) uniquement par 1 et par eux mêmes.

Maintenant c'est aussi l'ensemble le plus petit qui permet par combinatoire et en utilisant uniquement la multiplication de générer tous les nombres entiers.ex: 2 et 5 créent 10 car 2x5=10.

Bien qu'il existe un nombre infini de nombres premiers si on prend cette vision combinatoire et que l'on commence par crée des ensembles de plus en plus grand (le 1er:{2} ; le 2ieme:{2,3} ; ensuite {2,3,5} ; etc...) on est capable de crée tous les entiers jusqu'au nombre premier suivant.

est-il possible de faire des calculs de proba et de compter les cas possibles en combinatoire pour en extraire la structure ou la logique des nombres premiers?

et c'est quoi la multiplication intrinsèquement? ou plutôt comment tenir compte en combinatoire de tous les cas possible (dans le sens ou par exemple pour le nombre 4 on utilise 2x le nombre 2) tout en sélectionnant des critères pertinents (par ex. le deuxième ensemble i.e:{2,3} contient le nombre 2 mais il est inutile de calculer 2 exposer en 4 i.e2^4) car ici on cherche a agrandir l’ensemble en ajoutant 5 donc 2^4=16 est déjà trop grand.

Bon je sais que je n'invente rien tous se que je dis est connu mais j'aimerai vos commentaires et idées.

Merci
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[leg]

si tu veux écrire l'ensemble des entiers naturels n positifs, il te faut multiplier les nombres P entre eux pour boucher les trous jusqu'au prochain premiers, de tel sorte que tu obtiennes n +1
et tu commences toujours par le carré de p:
{2,3} , 2*2; 5; 2*3; 7;2*2*2; 3*3; {2.3.5} bon courage....2*2*2 = 2+2+2+2....pour la suite....

[rapasite]

le critère du n+1 est un bon début mais pour ce qui est de l'ordre dans lequel tu prend les nombres premiers peut tu trouver un théorie qui connaît et prédit l'ordre des test a faire?
ce qui m’intéresse est de trouver la logique qui me dis comment agencer les nombres premiers pour faire des multiplications qui crée une suite de nombres strictement croissantes a savoir la suite des entiers positifs dans l'ordre(moins les nombres premiers suivant et leurs composés).

un truc du genre tu dis que chaque nombres premiers est un élément de l'ensemble des nombres premiers:2 c'est le premier, 3 c'est le deuxième ensuite 5,7,11 etc...
Là tu trouve la logique de la multiplication ou plutôt de la structure des paquets de nombres premiers que tu multiplies entre eux.

Cette logique te permettrai de crée des groupes (d’éléments d'un ensemble) qui serait classé suivant un ordre. ex: quatrième groupe={E2,E2}avec E2 le deuxième élément de l'ensemble. après si tu associes les nombre premiers aux éléments de l'ensemble 2=E1 et 3=E2 etc...

donc le groupe {E2,E2} devient dans le cas des nombres premiers {3,3} qui correspondra a 3*3=9.Voila

Tous ça pour dire que ce qui m’intéresse c'est de savoir que {E2,E2} c'est le QUATRIÈME groupe.

En vrais je veux la logique qui donne l'ordre donc le cardinale associer a chaque groupe.

Merci

[taladris]

Salut,

il est difficile de parler de probabilité sur car il n'y a pas de mesure uniforme de probabilité sur (quel serait la mesure d'un point?) et les mesures non uniformes sont en bijection avec les séries entières à termes positifs convergentes de somme 1. Laquelle choisir?

Ce qu'on fait en général, c'est étudier des densités sur des ensembles finis et regarder leur limite quand la taille tend vers l'infini. Par exemple, on pourrait étudier la chose suivante: On note la suite croissante des nombres premiers. Puis pour tout n, l'ensemble des entiers naturels qui s'écrivent comme produit (avec des exposants non nuls) de . On note alors la fréquence (densité) des nombres de dans l'intervalles . On peut alors se demander:

1) A n fixé, quelle est la limite de quand N tend vers l'infini? Si elle existe, on la note .
2) A N fixé, quelle est la limite de quand n tend vers l'infini? Si elle existe, on la note .
3) Supposons que existe pour n assez grand. Est-ce que converge et si oui, vers quelle limite (notée a si elle existe)?
4) Supposons que existe pour N assez grand. Est-ce que converge et si oui, vers quelle limite (notée b si elle existe)?
5) Dans le cas où ces deux nombres existent, a-t-on a=b?

Je ne sais pas si cela a déjà été étudié, si c'est trivial ou non, ni ce que cela apporte à l'étude des nombres premiers (des spécialistes de théorie des nombres seront à même de juger). Au pire, cela te permettra de jouer un peu avec les nombres premiers

Cordialement.

PS: je ne comprends pas exactement ce que tu souhaites faire en parlant de proba et de combinatoire. J'espère ne pas être totalement à côté de la plaque et t'aider un minimum ^^.
PPS: 2) et 4) sont effectivement triviales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[rapasite]

Pour se qui est de la fréquence d' apparition des nombres premiers, Gauss a trouver une formule sympa et Riemann la améliorée.

Donc moi je m’intéresse plutôt a se que j'ai décri dans mon post précédent.

Merci

[invite76e2b617]

Bonsoir,

En vous lisant, je me demandais: la formule de Gauss (logarithme intégral) donne une approximation du nombre de premiers jusqu’à une borne mais existe-t-il une formule qui donne (ou approxime) le nombre de premiers nécessaires pour générer les n premiers entiers non premiers ?

Par exemple, jusqu’à 100 il y a 25 nombres premiers mais seulement les 15 premiers sont nécessaires pour générer les 75 premiers entiers non premiers.

Sans formule, il me semble qu'on peut faire la borne/2, on cherche le premier le plus proche inférieur et on compte (ex : 100/2=50, premier le plus proche inférieur=47 qui est le 15ème nombre premier) mais c’est une formule directe à partir de n qui serait intéressante.

L’évolution du rapport nombre de premier / nombre d’entiers non premier qu’ils génèrent doit décroître assez vite je suppose.

[rapasite]

Ta remarque et intéressante et ton intuition a vu juste.
Étant donnée que le plus petit nombre premier est 2, lorsque que tu le multiplie par le plus grand nombre premier de l'échantillon tu tombe sur le plus petit nombre qui a besoin de se nombre premier pour être générer.
Donc si tu ajoute le nombre premier suivant a ton échantillon c'est en le multipliant par 2 que tu trouve le plus petit nombre non premier que tu n'avais pas encore.

tu sais donc simplement que le dernier nombre non premier générer par les N premier nombre premier est exactement égale au (N+1)ieme nombre premier multiplier par 2 ce a quoi tu soustrait 2.

par exemple tu sais que 47 et le 15ieme nombre premier suivi de 53.
en prenant tous les nombres premiers jusque 47 tu pourra donc crée tous le nombre non premier jusqu’à (53x2)-2=106-2=104.

Donc comme ça dépend exactement du nombre premier qui suis ton échantillon tu pourra jamais trouver de formule exacte.

tu peux au mieux a mon avis approximer l'écart entre le n et n+1 iéme nombre premier en bidouillant gauss et riemann ensuite tu crée un suite en sommant les écarts ça te permettra de faire une approximation de la valeur du N ieme nombre premier et donc de retaper la formule de au dessus.

Mais ça ne m'explique toujours pas comment répondre a ma question qui se trouve sur mon deuxième post...

[rapasite]

PS:tu pourrais soustraire 1 a la place de 2 si le nombre du dessous est pas premier

[rapasite]

Question que je repose d'une autre façon:

Il y a t il un logique valable quel que soit N (entier positif) qui dis quel sont les groupes(et surtout l'ordre dans lequel ils apparaissent) de nombres, péchés(avec répétition) parmi les N plus petits nombres premiers, qui compose la suite des entiers.

se que je veux savoir en gros c'est la logique de peche des nombre.

Merci