Rang d'une matrice et valeur propre

[invite0de04844]

Bonjour,

j'ai eu des difficultés en relisant mon cour de "Diagonalisation". En effet sur un exemple du "théorème fondamentale de la diagonalisation".On a
soit une matricede rang 1, donc 0 est sa valeur propre et après on en déduit dimE0=dimKer(A).

Question:

pourquoi de rang 1 alors 0 est sa valeur propre?Si on apllique la définition de la valeur propre, on doit avoir A-In soit non injective det(A-In)=0. Si =0 alors det(A-In)0 puisque la matrice A n'est pas nulle.Donc 0 n'est pas VP non?

Pour dimE0=dimKer(A) je ne comprend pas non plus....
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[inviteea028771]

Si A est de rang 1 (et si n > 1), alors l'application linéaire a associée à A n'est pas bijective, et donc, pas injective

Donc il existe x différent de y tel que Ax = Ay, avec x-y différent de 0

Donc Ax-Ay = 0, ce qui entraine que A(x-y) = 0*(x-y)

0 est donc valeur propre de A, et un vecteur propre associé à la valeur propre 0 est x-y

[invite0de04844]

Si A est de rang 1 (et si n > 1), alors l'application linéaire a associée à A n'est pas bijective, et donc, pas injective

Donc il existe x différent de y tel que Ax = Ay, avec x-y différent de 0

Donc Ax-Ay = 0, ce qui entraine que A(x-y) = 0*(x-y)

0 est donc valeur propre de A, et un vecteur propre associé à la valeur propre 0 est x-y

Merci pour la réponse.Mais je ne comprends encore moins dans votre réponse...
"ce qui entraine que A(x-y) = 0*(x-y)",donc ça veut dire que A=0? j'ai l'impression de tourner au rond là....

[inviteea028771]

Non, Ax = 0 n'implique pas que A (ou x ) soit égal à zéro !

Exemple simple : et

Alors

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0de04844]

Non, Ax = 0 n'implique pas que A (ou x ) soit égal à zéro !

Exemple simple : et

Alors

Oui en effet, merci.