Equation du 2nd degré

[invite71e3d671]

Bonsoir
J'ai du mal a commencer mon exercice.

Soit λ appartenant a R. On considère l'équation (Eλ) x^2-2λx+1=0 d'inconnue x appartenant a C dont on note x1 et x2 les solutions , distinctes ou confondues.
1)Soit u (mu) appartenant à R*. Former une équation du second degré notée (Fλ,u(mu)) dont les solutions sont y1=x1+u/x1 et y2=x2+u/x2.
2)Montrer que les équations (Eλ) et (Fλ,u) possèdent simultanément des solutions réellles sauf dans un cas que l'on précisera.
On suppose dans la suite que valeur absolue de λ > ou égal à 1 et u appartient R privé de (0;1).
Montrer que la relation Rλ,u: 4λ^2(1-u)=(2-u)^2 est une condition necessaire et suffisante portant sur λ et u pour que les équations (Eλ) et (Fλ,u) admettent une solution commune et une seule.
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Une équation du second degré dont y1 et y2 sont les solutions ... Que c'est difficile !
Si y1 et y2 sont les racines d'une équation du second degré (ax²+bx+c=0) elle s'écrit sous forme factorisée a .... (cours de première). Et comme la seule condition qu'on a sur a est qu'il soit non nul, prenons-le égal à 1.

Bon travail !

[invite71e3d671]

oui en effet c 'est ce que j'ai fait j'obtiens x1=λ + racine(λ²-1) et x2=x1=λ- racine(λ²-1). Puis je bloque avec y1+y2 et y1*y2 pour trouver -b/a et c/a

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends pas ce que tu veux dire : Tu as x1 et x2, donc tu peux écrire y1 et y2, puis l'équation.
Pour ma part, je ne serais pas allé chercher produit et somme des racines, simplement l'idée que j'avais suggérée. mais si tu connais, applique (bêtement, ça suffit).

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71e3d671]

l énoncé nous dit d écrire une équation du second degré de la forme a²-b/a x +c/a

[gg0]

Si tu ne donnes pas l'énoncé ... que je ne comprends d'ailleurs pas vraiment.

Mais on apprend en première que deux nombres r et s sont les racines de l'équation (x-r)(x-s)=0, et c'est d'ailleurs une évidence ! Et cette équation s'écrit x²-(r+s)s+rs=0 par un développement évident. Un élève de fin de collège qui réfléchit un peu le comprend facilement.

Cordialement.

[invite71e3d671]

Bonjour ,
tout d 'abord j'ai résolu x²-2λx+1=0 et j'obtiens x1=λ+racine(λ²-1) et x2=λ-racine(λ²-1)
Puis y1=x1+u/x1 et y2 = x2+u/x2
j 'ai posé y1+y2 = 2λ+2λu.
y1*y2=u²-2u+4uλ²+1
Puis je bloque

[gg0]

Ben ...

Quel est le lien entre somme et produit des racines et équation (surtout sous la forme x²-b/a x +c/a ) ?

[invite71e3d671]

oui c 'est ce que j'ait fait mais j'obtiens x²-2x(lambda+lambdau)+u(4lambda²-2+u)+1=0

[gg0]

Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais si tu appliques les règles, tu obtiens le bon résultat. A toi de vérifier que tu as bien appliqué les règles.
Pour ma part, un calcul rapide ne me donne pas ça. y1+y2 et y1y2 s'expriment assez facilement à partir de x1+x2 = 2 lambda et x1x2=1.

Cordialement.