Complexes equation 2nd degré

[invited713b41b]

Bonsoir,
Pourriez-vous svp m'aider à résoudre ce systeme?:

(3+i)z² +(1+2i)z + 1+2i = 0
ou
(3-i)z² +(1-2i)z + 1-2i = 0

Merci d'avance
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[Cherchell]

On prend la première équation , tu calcules
= (1 + 2 i)² - 4*(1 + 2 i)*(3 + i)
= (1 + 2 i) [1 + 2 i - 12 - 4 i]
= (1 + 2 i) (- 11 - 2 i) = - 7 - 24 i
Il te faut déterminer une racine carrée de
Tu poses = (x + i y)²
tu développes, en égalant parties réelles et imaginaires tu obtiens :
x² - y² = - 7
2 x y = - 24
tu rajoutes une ligne avec l'égalité des modules :
x² + y² = 25
la somme de la première et de la troisième ligne donne 2 x² = 18 donc x² = 9 et x = 3 ou - 3
la différence de la première et de la troisième ligne donne 2 y² = 32 donc y² = 16 et y = 4 ou - 4
avec la deuxième ligne tu trouves que x et y sont de signe contraires donc = (3 - 4 i)²
ensuite tu appliques les formules classiques
tu trouves X = - i ou X = (- 1 - i)/2

Pour la seconde équation il suffit de montrer que si z est solution de cette équation, son conjugué est solution de la première
donc les solutions sont X = i ou X = (- 1 + i)/2

[invited713b41b]

MERCI infiniment pour cette réponse bien détaillée.