Équations dans C

[Jon83]

Bonsoir!

Soit l'équation z + 3*conj(z)=(2+i*sqrt(3))*|z|
Pourquoi peut-on dire qu'elle est équivalente à un système de deux équations:
1) z + 3*conj(z)=(2+i*sqrt(3))*|z|
2) conj(z) + 3*z=(2-i*sqrt(3))*|z|
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[invite029139fa]

En fait, le système que tu nous donne n'en est pas vraiment un car les deux équation de ce "système" sont équivalentes. Par contre, on peut dire que ton équation 1) est équivalente à l'équation 2) car :

et on a : et

[Jon83]

Bonjour!

En effet, les deux équations sont équivalentes!
Alors, je ne comprends pas du tout la résolution donnée dans la solution (voir fichier joint) ???
Si quelqu'un peut m'expliquer...

[Seirios]

Bonjour,

En fait la première équivalence est triviale, c'est comme si tu écrivais : A est vrai si et seulement si A et A sont vrais. Par contre je ne vois pas d'où vient la deuxième équivalence.

Pour faire simple : transforme ton équation complexe en un système de deux équations en identifiant les parties réelle et imaginaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Oui, cette méthode est bizarre!! Voici ce que j'ai fait:
z=x+iy
x+iy+3x-3iy=(2+i*sqrt(3))*|z|
4x/|z| - 2iy/|z| = 2 + i*sqrt(3)
=> 4x/|z| = 2 --> 2x/|z| = 1 --> x>0 et |z|= 2x
=> -2y/|z| = sqrt(3) --> 2y=|z|*sqrt(3) = -2x*sqrt(3)
donc z = x - i*x*sqrt(3) = x(1-i*sqrt(3)) avec x>0
ce qui est plus rapide!!!

[Seirios]

Attention, si tu divises par , il faut envisager le cas où z est nul (tu n'as d'ailleurs pas besoin de diviser).

[Jon83]

Exact, ça peut se faire sans diviser par |z|.
Merci pour ta remarque

[Médiat]

Bonjour

Par contre je ne vois pas d'où vient la deuxième équivalence.

Le corrigé utilise le fait que et .
C'est correct comme démonstration, mais plus pédant qu'autre chose, d'autant plus qu'il y a une vraie erreur dans ce corrigé !