Equations dans Z

[invite97a526b6]

Bonjour,

Comment démontrer le plus simplement possible que les deux équations suivantes ont pour seules solutions dans Z: x = +1 ou -1 et y = 0 ?

x² - 5y² = +1 ou -1

J'ai une solution qui consiste à résoudre les équations linéaires X - 5Y = +1 ou -1, puis à démontrer que les solutions ne peuvent être des carrés. Mais il me semble qu'il y a une méthode plus directe ?

Merci pour réponses.
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[invite616e6f6a]

Salut,

ya un truc que j'ai pas saisi: si tu dis que y=0, alors que x vale 1 ou -1, x² - 5y² vaut toujours +1??

[invite97a526b6]

Salut,

ya un truc que j'ai pas saisi: si tu dis que y=0, alors que x vale 1 ou -1, x² - 5y² vaut toujours +1??

Cela veut dire que l'équation x² - 5y² = -1 n'aurais pas de solution (dans Z)

[invite616e6f6a]

Alors, ta question serait donc :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Alors, ta question serait donc :

Oui exactement ça à démontrer.

[Médiat]

Oui exactement ça à démontrer.

Est-ce que (x = +2 ou x = -2) et (y =1 ou y = -1) ne serait 4 solutions supplémentaires ?

[inviteaf1870ed]

C'est une équation de Pell, avec une infinité de solutions. La solution primitive est x=9 y=4 pour la valeur 1.
voir ici : http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

[invite97a526b6]

C'est une équation de Pell, avec une infinité de solutions. La solution primitive est x=9 y=4 pour la valeur 1.
voir ici : http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

Merci pour cette référence qui éclaire bien le problème dont je n'avais absolument pas perçu la richesse et la difficulté.
J'ai été amené à résoudre cette équation en essayant d'expliciter le groupe multiplicatif du sous-anneau A de R: A := {a + bV5, a et b € Z}.
Il y a aussi un bon article sur WIKIPEDIA où il est mentionné ces solutions:
(x,y) = (9,4), (161,72), (38,17), (682,305), (12238,5473), ...