Séries numériques

[invite204ee98d]

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide pour un élément de l'exo suivant, merci :

Montrer que la série de terme général Un=racine(n+2) -2*racine(n+1) + racine(n) converge.

Pour moi déjà si on fait la somme de 0 à n de Un, c'est une sorte de suite télescopique, et il reste :

-1 +racine(n+2) -racine(n+1) , ensuite il est évident d'utiliser les DL mais là je suis pas trop sur;

Je sais que pour racine(x+1) c'est : 1+0.5x-(1/8)x²+.....+(-1)^(n-1) * ((1*3*...*(2n-3))/(2*4*...*2n))x^n + o(x^n) , mais je sais plus à quel degré il faut s'arreter, est ce tout simplement le degré de x ??????

Du coup, pour racine(x+2), je doute aussi meme si je vais pas utiliser le meme DL mais celui de ( 1+X)^0.5 avec X=x/2 et je multiplierai par racine(2) car racine(x+2)=racine(2)*racine(1 +x/2)

Merci d'avance. Au revoir.
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[invite204ee98d]

Personne pour m'aider

[gg0]

Bonsoir.

Tu es parti de travers, n ne tend pas vers 0 comme le x dans les DL !
Par contre, une idée classique avec les différences de racines carrées (ou les sommes) est de multiplier et diviser par la quantité conjuguée; ça suffit ici.
Si tu tiens à utiliser les DL, alors le calcul facile :

Permet de les utiliser car tend bien vers 0

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,
Connaitrais tu Raab-Duhamel?
Si oui, je pense que c'est la solution a ton problème.
gg0 multiplier et diviser par les conjugués est une astuce qui marche si l'on n'a que 2 termes.
Me trompe-je? ^^

Cordialement,
M.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

Raabe-Duhamel ne marche pas. Dsl.

[gg0]

gg0 multiplier et diviser par les conjugués est une astuce qui marche si l'on n'a que 2 termes.
Me trompe-je? ^^

ça devient plus compliqué avec 3, mais on y arrive encore en recommençant.

Bien évidemment, passer par des DL est souvent plus simple, mais pas toujours.

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

C'est simple en fait. Regarde les équivalents et tu trouveras une série de Riemann. Sachant que tous les termes Un sont négatifs tu travaillles sur -Un et c'est fini.