Fonction réciproque

[invitee597aaaf]

Bonjour à toutes et à tous, d'avance je m'excuse de la longueur de ma démonstration, j'ai l'habitude d'étendre celle-ci pour qu'elle soit la plus lisible possible.

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ENONCE
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Soit f : R -> R la fonction définie par : f (x) = -4x+cos(2x-4)+3
On pose g = f^(-1).
Calculez la valeur g ' (22) de sa dérivée en -22.
Vous devrez répondre avec une précision d'au moins 4 chiffres significatifs.

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DEMONSTRATION
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Après avoir posé g = f^(-1) on a :
g(f(x)) = x et réciproquement que f(g(x)) = x

Ensuite j'ai déroulé en dérivant à l'aide de la formule de la fonction composée et j'obtiens donc :
g ' (f(x)) * f ' (x) = 1
<=> g ' (f(x)) = 1 / (f ' (x))

Ensuite je me suis dit puisque nous cherchions : g ' (-22) qu'il me suffisait de trouver x tel que f(x) = -22, ensuite j'aurais injecté la valeur trouvée de x dans f ' (x) pour obtenir mon g ' (-22).
Seulement je n'arrive pas à résoudre en fonction de x : -4x+cos(2x-4)+3 = -22

Mon raisonnement est-il juste, ou auriez vous une idée pour y parvenir plus simplement ?

Je vous remercie d'avoir lu ce post, et de vos éventuelles futures réponses !
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[gg0]

Bonjour.

Ton calcul suppose que f^-1 est dérivable, et avec cette supposition, il est correct. mais n'as-tu pas un théorème sur la dérivée de la réciproque ?
Ensuite, comme le dit l'énoncé, c'est du calcul approché que tu dois faire, en veillant à ce que la précision sur le résultat soit correcte. Tu peux commencer par estimer quelle précision tu dois avoir sur x pour que le calcul de 1/f'(x) ait la précision voulue (formule des accroissements finis, par exemple, ou encadrements).

Cordialement.

[invitee597aaaf]

Le théorème des accroissements finis ne me donnera que la précision sans me donner la valeur de x telle que f(x) = -22, non ?

[gg0]

Comme le dit l'énoncé, c'est du calcul approché que tu dois faire

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee597aaaf]

Autrement dit, je prends deux points quelconques distincts A et B, j'associe à leur x respectifs leur valeur de y (autrement dit leur image f(A) et f(B)) puis je dit que g ' (-22) = (g(B) - g(A))/(b - a)

[gg0]

Drôle d'idée !

je te laisse y réfléchir sérieusement, je vais me coucher.

[invitee597aaaf]

Merci de ton aide (think)

[invitee597aaaf]

Bon après une nouvelle série d'essais je trouve quelque chose de proche mais je ne comprends pas pourquoi je ne trouve pas le résultat attendu.
D'après ma prof' je devrais obtenir g ' (-22) = -0,17201169.
Or en essayant de dérouler... je dois résoudre quelque chose d'atroce ce qui entrainera des approximations dans le premier x qui me permettra d'obtenir la valeur de f ' (x)... et donc de g ' (22)...
J'ai essayé cette fois ci d'utiliser la formule (f^-1) ' = 1 / (f o f^-1).
J'ai obtenu g ' (22) = 1 / [f ' (g(x))]
<=> 1 / [-2*sin(2*g(x)-4)-4]
Or pour trouver ça je dois encore une fois trouver la fonction composée de cette fonction horrible de base...

Problème insoluble...

[gg0]

Mais ton problème est de trouver une valeur approchée de x (première forme) ou de g(x) (deuxième forme). Pour l'instant, tu tournes en rond dans un calcul exact que tu ne sais pas faire (et personne d'ailleurs ne sait le faire !). Il faut te décider à t'attaquer au problème de calcul approché, je te le dis depuis un moment. Relis mon message #4.

Cordialement.

[invitee597aaaf]

Bon reprenons depuis le début, j'ai bien compris qu'on me demandait de trouver une approximation de g ' (22).
Mon problème n'est pas là, le problème est que je ne connais pas la fonction g (qui est la fonction réciproque de f je le rappelle) et de ce fait encore moins sa dérivée.
J'ai donc pensé qu'en procédant de la sorte je pourrais simplifier les choses mais en réalité cela ne fait qu'accroître la difficulté car on en revient toujours à :

g ' (f(x)) = 1 / f ' (x)

Ainsi pour trouver g ' (22) je pensais résoudre f(x) = 22 puis injecter la valeur trouvée de x dans f ' (x) chose plutôt simple à faire, sauf que... f(x) = 22 est une équation vraiment horrible dont la réponse est loin d'être simple.

Tu m'as parlé du théorème des accroissements finis mais le problème dans le cas présent c'est que je commence tout juste à le voir, et voir ses formules, et je ne vois pas comment l'utiliser étant donné que je ne dispose ni de g, ni de g' ni de leurs bornes, ce qui me semble indispensable.

Peux-tu en ce sens me décrire la démarche pour utiliser ce théorème ?
Ne serait-ce que sur cet exemple que je puisse le ré-appliquer à d'autres exercices similaires.

Je te remercie de ta patience en tout cas.

[gg0]

f(x) = 22 est une équation vraiment horrible dont la réponse est loin d'être simple.

C'est bien pour ça qu'on va la résoudre approximativement. Mais depuis hier soir, tu refuses de le faire.
Donc ce n'est pas la peine de parler pour l'instant des accroissements finis, qui serviront pour estimer l'erreur que l'on fait ensuite.

Donc au travail !

[invitee597aaaf]

D'accord alors : f(x) = 22
<=> 4x + cos(2x-4)+3 = 22
<=> 4x + cos(2x-4)=19
<=> 4x = 19 - cos(2x-4)
<=> x = [19 - cos(2x-4)]/4
On pose : X = cos(2x-4)
<=> x = (19-X)/4
En considérant X = 0, on obtient : x = 4,75.
Ensuite si je réinjecte ce 4.75 dans l'équation de départ :
4*4,75 + cos(2*4,75-4)+3 = 22,70866977

22,70866977 par rapport à 22, représente une marge de 1,03 % ?

[gg0]

f(x) = 22
<=> 4x + cos(2x-4)+3 = 22
<=> 4x + cos(2x-4)=19
<=> 4x = 19 - cos(2x-4)
<=> x = [19 - cos(2x-4)]/4

Ok, ça pourrait permettre un calcul approché intéressant, si tu connais la méthode.

On pose : X = cos(2x-4)

Pourquoi pas ?

<=> x = (19-X)/4
En considérant X = 0

Pourquoi "considérer que X est nul ? Il n'y a pas de raison !!! cos(2x-4) est rarement nul, et d'ailleurs, pour la solution de l'équation cos(2x-4) vaut environ 0,508. C'est loin d'être nul !!!!

Tu es à quel niveau, que tu sembles ne jamais avoir essayé de résoudre de façon approchée une équation ?
Enfin, vu ton énoncé, on s'attend à ce que tu saches faire, ou au moins essayer de façon sérieuse, rigoureuse (en appliquant des règles mathématiques, pas en "posant" des égalités fausses).

Cordialement.

NB l'usage d'une calculette graphique permet de trouver une valeur approchée à deux chiffres après la virgule de 4,62, et les règles connues en première S permettent de justifier facilement par encadrement que c'est correct.

[gg0]

A noter :
Savoir pourquoi g existe bien serait sans doute utile !!!

[invitee597aaaf]

J'ai trouvé le résultat escompté.
Soit g'(-22) = -0,17201169.

Merci de ton aide.