Polynôme de degré 4 - 1ère S

[Upium666]

Bonjour,
Je n'ai pas su répondre à cette question (1ère S) :
Déterminer un polynôme P de degré 4 tel que :
P(x+1)-P(x)=x^3
(Sachant qu'on se base seulement sur le cours des fonctions de second degré)
Comment puis-je faire ?
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Un polynôme de degré 4 s'écrit

et le connaître, c'est connaître a, b, c, d et e. Remplace dans la condition, tu trouveras.

Cordialement.

[Upium666]

J'y ai pensé mais c'est pénible et on obtient 4 inconnues a,b,c,d (le e étant éliminé)
Or ça nous complique la tâche avec un système comme ça :/
N'y aurait-il pas d'autre moyen ?
Devrais-je essayer par les exemples ?
Comme :

P(0)-P(-1)=-1
P(1)-P(0)=0
P(2)-P(1)=1
...

Merci

[danyvio]

J'y ai pensé mais c'est pénible et on obtient 4 inconnues a,b,c,d (le e étant éliminé)
Or ça nous complique la tâche avec un système comme ça :/
N'y aurait-il pas d'autre moyen ?

Explique nous le développement que tu as (dû) effectuer en développant et en réduisant. On verra ensuite si trop d'inconnues subsistent.
PS C'est moi qui ai ajouté dans ton texte

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Il n'y a vraiment aucune pénibilité.
Il s'agit d'écrire bêtement ce qu'est le polynôme et d'en déduire ce que sont les relations entre les coefficients pour que cela fasse .
Le système obtenu est d'une extrême simplicité, et les coefficients se déterminent un par un sans difficulté.

[Upium666]

Par "pénible" je ne signifiais pas dur mais long



On en déduit que :





Mais là je bloque pour la résolution du second degré
(Dois-je obtenir un Delta inférieur, égal ou supérieur à 0 ?)

[Upium666]

Par "pénible" je ne signifiais pas dur mais long



On en déduit que :










Merci à tous !

[gg0]

L'idée est bonne, la réalisation moins :

Et on peut calculer d.
Et comme on peut prendre la valeur qu'on veut pour e, il y a une infinité de solutions.

Cordialement.

[breukin]

Et pourquoi avez-vous écrit :


Au lieu d'écrire, résultant de l'identification terme à terme :



(sans compter l'oubli ).

Par "pénible" je ne signifiais pas dur mais long

On peut facilement trouver des problèmes plus longs.

[ericcc]

Une autre méthode consiste à dériver plusieurs fois l'équation initiale, en posant P(X)=aX^4+bX^3+cX²+dX+e :
P'(X+1)-P'(X)=3X²
P"(X+1)-P"(X)=6X
P"'(X+1)-P"'(X)=6
On trouve ainsi la valeur de a puis on remonte pour avoir celle de b, de c et de d.

C'est en fait l'application de la formule de Taylor, qui n'est pas du niveau 1ere S