Petit problème de raisonnement sur les fonctions réciproques

[invite8bd09047]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème devant un exercice d'outils mathématique que je suis en train de relire.

J'ai une fonction définie sur [1 ; + infini [ qui est f(x) = [ 2x² + x + 2 ] / [ x² +1 ]

On chercher à montrer qu'elle admet une fonction réciproque.

On calcule la dérivée, et on dit que f(x) est dérivable sur [1 ; + infini [ et que pour tout x appartenant à [1 ; + infini [ , on obtient :
f'(x) = [ -(x)² + 1 ] / [ x² + 1 ]²

Le prof nous a fait écrire que f'(x) est STRICTEMENT négative sur [1 ; + infini [
Je n'y avais pas fais attention au moment de noter la correction. Mais en me relisant ce soir , je trouve que qu'elle est n'est PAS STRICTEMENT négative sur [1 ; + infini [
Car si nous remplaçons x par 1 , dans f'(x) .. Nous obtenons que f'(x) = 0

Alors à moins que je raisonne mal.. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît?
Je vous remercie
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[invitec336fcef]

non, c'est une erreur dans la correction... f' n'est pas strictement négative

[invite8bd09047]

A moins que ça ne soit une erreur de frappe de sa part... Parce que j'ai regardé sur une amie dans ma classe, elle a exactement la même chose.
Je pense qu'il voulait plutôt dire que
f'(x) = [ -(x)² + 1 ] / [ x² + 1 ]² < 0 sur ]1 ; + infini [ non ?

[invite8bd09047]

D'accord je vous remercie pour votre réponse. Mais dans ce cas, si f' n'est pas strictement négative... Cela veut dire que la fonction f, n'admet donc pas de réciproque, et que donc tout l'exercice est faux ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

Tu l'as bien noté, il y a erreur de ton professeur : f' n'est pas strictement négative sur [1; +inf[
Cela ne remet cependant pas en cause le résultat qui est que f admet une fonction réciproque.

En effet, comme tu l'as également noté, f' est strictement négative sur ]1; +inf[. Cela signifie que f est strictement décroissante sur ]1;+inf[.
Mais "1" est la borne de l'intervalle donné [1;+inf[ et donc même si f'(1) = 0, f est strictement décroissante sur [1;+inf[.

[invite8bd09047]

D'accord, je vous remercie pour votre explication, j'ai bien compris.