Volume d'une sphère coupée par deux plans

[invite9bac8d92]

Bonjour à tous,

Je pose ce simple problème que je n'arrive pas du tout à résoudre.
Je le mets ici car je ne crois pas qu'on voit ça au lycée.

Je code en python un tirage aléatoire de sphères dans un cube, je coupe donc parfois des arrêtes. Pour comptabiliser le bon volume j'ai donc besoin du volume d'une sphère coupée par deux plans.
Or je tombe complètement en rade devant ce problème. Je pense qu'utiliser une intégrale en sphérique serait une solution mais je fonctionne en coord cartésiennes et passer en sphériques par le python va me poser pas mal de problèmes.
Bref si vous avez une idée simple, je suis preneur.

Merci à vous !
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[invite179e6258]

la sphère peut même recouper les 6 faces du cube si elle est assez grande.

[invite9bac8d92]

Le rayon est fixé donc elles ne peuvent pas couper plus que deux faces. Elles peuvent couper un coin du cube mais je rejette ce cas lors du tirage.

Donc le pire des cas est quand la sphère est coupée par deux plans.

[gg0]

Bonjour.

Si je comprends bien, il ne s'agit pas de "tirage aléatoire de sphères dans un cube", mais de tirages de points (les centres). Sinon, il suffirait de prendre les points suffisamment loin des bords.
Pour le cas où la sphère coupe un bord, on peut utiliser le volume d'une calotte sphérique, qu'on trouve facilement sur Internet. Le cas deux plans non parallèles est nettement moins agréable et celui de trois encore plus. Attention : "Le rayon est fixé donc elles ne peuvent pas couper plus que deux faces" est faux. même avec un rayon faible, le centre peut être dans un coin et couper trois plans.

Quel est l'intérêt de calculer ce volume ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1b9a4dd5]

Bonjour,

Pour rebondir sur gg0, on prend le rayon de la calotte sphérique(rayon sphère - distance du centre / plan coupé) pour calculer son volume, idem pour le second plan, et on retrance le volume total de la sphère les volumes des deux calottes, non ?

cdt,

[inviteaf1870ed]

HGP : c'est vrai si les plans sont parallèles ou définissent des calottes qui ne se recoupent pas. Mais il y a des cas plus compliqués : par exemple un plan qui passe par la latitude 45° et un plan qui passe par un méridien.

[invite1b9a4dd5]

Bonjour,

Je n'ai peut-etre pas bien compris mais il semble qu'il est question de sphere et de cube. Et il est dit que la sphere est coupée par deux plans, donc deux plans perpendiculaires, non ? Car si deux plans parallèles, la sphère recouvre une partie du cube et donc coupe 3 plans, ce qui est interdit par son programme python, la sphère est plus petite que le cube sinon elle coupe 3 plans

cdt,

[invite1b9a4dd5]

Re,

Cela dit, c'est vrai qu'il y a des cas un peu plus compliqués...il faudrait examiner tous les cas à tete reposée.

[invite9bac8d92]

Je vais essayer de répondre à tout le monde.

Bonjour.

Si je comprends bien, il ne s'agit pas de "tirage aléatoire de sphères dans un cube", mais de tirages de points (les centres). Sinon, il suffirait de prendre les points suffisamment loin des bords.
Pour le cas où la sphère coupe un bord, on peut utiliser le volume d'une calotte sphérique, qu'on trouve facilement sur Internet. Le cas deux plans non parallèles est nettement moins agréable et celui de trois encore plus. Attention : "Le rayon est fixé donc elles ne peuvent pas couper plus que deux faces" est faux. même avec un rayon faible, le centre peut être dans un coin et couper trois plans.

Quel est l'intérêt de calculer ce volume ?

Cordialement.

Oui effectivement c'est ça, je tire un rayon et un centre. Pour le cas des trois plans qui coupent oui effectivement j'ai oublié de le préciser mais je le prends en compte.

Bonjour,

Pour rebondir sur gg0, on prend le rayon de la calotte sphérique(rayon sphère - distance du centre / plan coupé) pour calculer son volume, idem pour le second plan, et on retrance le volume total de la sphère les volumes des deux calottes, non ?

cdt,

Oui c'est ce que je fais en fait, ça s'avère être le plus simple. Mais je risque d'avoir des plans qui ne sont pas parrallèles ou qui ne se coupent pas.

Bonjour,

Je n'ai peut-etre pas bien compris mais il semble qu'il est question de sphere et de cube. Et il est dit que la sphere est coupée par deux plans, donc deux plans perpendiculaires, non ? Car si deux plans parallèles, la sphère recouvre une partie du cube et donc coupe 3 plans, ce qui est interdit par son programme python, la sphère est plus petite que le cube sinon elle coupe 3 plans

cdt,

Re,

Cela dit, c'est vrai qu'il y a des cas un peu plus compliqués...il faudrait examiner tous les cas à tete reposée.

Oui pour l'instant le cas de deux plans qui coupent une arrête d'un cube (donc plans perpendiculaires) est résolu.
Mais dans le cas d'une figure autre qu'un cube, je risque d'avoir des problèmes. Je vais essayer de me restreindre à un cube car c'est beaucoup plus simple ainsi.

[gg0]

Je repose ma question :

Quel est l'intérêt de calculer ce volume ?

tout simplement parce qu'il y a de nombreuses situations où ça ne sert à rien, on peut faire autrement (paver l'espace avec des cubes identiques, par exemple).

Cordialement.

[invite9bac8d92]

Effectivement j'ai oublié de répondre à cette question.
Pour faire simple, dans ma géométrie (cube), je tire aléatoirement des sphères qui viennent peupler le cube avec un autre matériau (vide, verre, polymère). Je dois connaître la fraction volumique que j'insère, donc le volume des sphères, donc le cas où la sphère est coupée par un bord doit être pris en compte.

Cordialement

[gg0]

Ok.

Alors tu as intérêt à considérer un grand nombre de cubes jointifs, et faire tes tirages dans l'ensemble. Par exemple en prenant 1000 cubes qui forment un cube de côté 10 fois plus grand, et en tirant 1000 fois plus de sphères, tu obtiens une bonne approximation du résultat en "oubliant" ce qui n'est pas dans le "grand cube". Et on peut remplacer 10 par un nombre plus grand, ou, pour théoriser, passer à la limite.
L'idée est que ce qui sort d'un cube est dans un autre ou plusieurs autres.

Cordialement.

[invite9bac8d92]

Ah oui je vois la méthode. Effectivement ça devrait pouvoir s'appliquer. Je vais essayer de creuser dans ce sens, merci !