Valeur absolue

[invite4930e0ce]

salut ,
svp, y a t il une demonstration pour :
∀x, y ∈ R : | |x| − |y| | ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

et merci
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[gg0]

Oui !

On démontre d'abord |x + y| ≤ |x| + |y| par exemple en examinant les 4 cas x et y positifs, x positif et y négatif, ...
Puis en posant x=(x+y)+(-y) et en appliquant ce qu'on vient de démontrer, on prouve | |x| − |y| | ≤ |x + y| .

Bonne rédaction.

[invitefda8c963]

pr démontrer que |x+y|<|x|+|y|
tu peux raisonner par equivalences,
tu lèves au carré et tu va oubtenir : xy<|xy| ce qui est toujours vrai, donc "|x+y|<|x|+|y|" est vraie.
tu peux faire ce truk meme pr l'inégalité de gauche.

[PlaneteF]

Autre façon de démontrer que :

Il suffit de remarquer que dans un 1^er temps et , puis on additionne membre à membre, ...

... et dans un 2^e temps et , puis on additionne membre à membre, ...

... les 2 inégalités ainsi obtenues démontrent bien l'inégalité voulue !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

C'est vrai aussi pour les nombres complexes .. Essayez ..