Représentation univoque de polynomes à plusieurs indéterminées ?

[invited8bd0c28]

Bonjour,

je souhaite écrire un programme informatique faisant appel à des polynômes à plusieurs indéterminées:



Cette expression est un peu lourde donc je vais utiliser le cas particulier :



Pour diverses raisons, je souhaite ne pas accorder d'importance à l'ordre des indéterminées.

Par exemple, un polynôme tel que:



doit être considéré comme étant le même polynôme que:



Puisqu'on intervertit seulement les rôles joués par Y et par Z.

Plus généralement, je voudrais considérer que deux polynômes et sont équivalents lorsqu'il existe une bijection de dans telle que:



Si ces polynômes s'écrivent:



et



existe-t-il une condition sur les coefficients et qui traduise la relation d'équivalence en question ?
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[inviteea028771]

Il faut qu'il existe une permutation telle que pour tout i,j,k

[inviteea028771]

Ou si tu préfères, si tu as les polynômes de la forme

, tu les as tous et aucun en double

[invited8bd0c28]

Ou si tu préfères, si tu as les polynômes de la forme

, tu les as tous et aucun en double

Ah oui c'est tout bête et ça règle déjà le cas des permutations, en effet.

Pour le cas général de n'importe quelle bijection, après réflexion je ne pense pas que ce soit facile.

Pour les transformations linéaires, par contre?

Par exemple, avec le changement de variable:

X = x + y
Y = x - y

le polynome


équivaut à:


Y'a-t-il moyen dans le cas général de statuer sur l'existence d'une transformation linéaire qui permet de passer d'un polynôme à un autre?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited8bd0c28]

Ou si tu préfères, si tu as les polynômes de la forme

, tu les as tous et aucun en double

Je viens de réaliser que cette représentation ne permet pas d'obtenir "tous" les polynômes, même à une permutation près. Contre-exemple:

[Médiat]

Bonjour,

Pour la question des changements de variables par une applcation linéaire (voire affine), j'ai peur qu'il n'y ait beaucoup d'équations (dans le cas de polynômes de degré 3, à 3 inconnues, cela donne 20 équations à 12 inconnues)...

Pour les permutations, il "suffit" de définir une forme normalisée, en ordonnant les monomes (par degré puis par indice, par exemple, mais cela n'a aucune importance, il suffit d'avoir un ordre total), puis en faisant les changements de variables nécessaires pour minimiser les indices.

Un exemple pour être plus clair : qui est déjà dans le bon ordre.
1) En degré 1 le plus petit indice est 0, on pose
2) Le suivant est l'indice 3 alors que le 1 n'est pas utilisé, on pose
3) Le suivant est l'indice 4 alors que le 2 n'est pas utilisé, on pose
4) Le suivant est l'indice 1 alors que le 3 n'est pas utilisé, on pose
5) Le suivant est l'indice 2 alors que le 4 n'est pas utilisé, on pose

Evidemment deux polynômes ayant la même forme normalisée sont "identiques".

[invited8bd0c28]

"Par degré puis par indice" Ok, j'ai pigé. Effectivement ça devrait marcher.

Pour les applications linéaires, en effet c'est probablement sans espoir. Et a fortiori pour toutes les bijections.

L'ennui c'est que du coup mon projet tombe un peu à l'eau: je ne peux pas permettre aux (futurs) utilisateurs de dériver une solution pour un polynôme en se contentant de réutiliser une solution pour un autre polynôme avec juste un changement de variable.

[inviteea028771]

Je viens de réaliser que cette représentation ne permet pas d'obtenir "tous" les polynômes, même à une permutation près. Contre-exemple:

Oups, oui, c'est exact, il en manque (et même beaucoup)

[Médiat]

"Par degré puis par indice" .

Ne pas oublié, comme je l'ai fait, de tenir compte aussi des coefficients, afin que et soient codés de la même façon.

[invited8bd0c28]

Juste un petit message pour dire que si quelqu'un trouve un critère pour détecter le cas général où P et Q sont reliés par un changement de variable quelconque (pas forcément linéaire), ça m'intéresse. Même si c'est dans un futur assez lointain, n'hésitez pas à poster votre réponse. Je crois savoir que je recevrai un mail de signalement, et de toute façon je surveillerai ce fil de temps en temps.