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sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire



  1. #1
    -hellokitty-

    sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire


    ------

    Bonjour, je suis en prépa et j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas ...
    C'est :

    on pose F=ensemble des fonctions de R dans R, Fp=ensemble des fonction paires de R->R, Fi=ensemble des fonctions impaires des R->R.
    Et h : définie sur Fp*Fi ->F et qui à (f,g) associe : f+g.

    a) Donnez les antécédents de exp par h.
    b) Prouver que h est bijective (donner sa bijection réciproque).

    Je n'y arrive pas ... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Bonjour,

    Je vous donne un petit coup de pouce afin que vous puissiez finir :

    Par hypothèse, les antécédents de l'exponentielle vérifie :
    ,
    et comme vous avez des choses sur f et g, cela devrait vous inciter à écrire la relation précédente pour -x.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Bonjour,
    Merci pour ta réponse

    on a pour tout x appartenant à R, f(x)+g(x)=exp(x)
    donc :
    f(-x)+g(-x)=exp(-x)
    (1) : f(x)-g(x)=exp(-x) comme f est paire et g impaire
    et (2) : f(x)+g(x)=exp(x)

    En faisant (1)*(2), on a : f(x)²-g(x)²=1, mais ensuite je ne sais pas quoi faire ...

  5. #4
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    En fait, je trouve aussi f(x)+g(x)=ch(x)+sh(x)=exp(x)
    Mais après je sais pas quoi en faire ...

  6. #5
    Médiat

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Citation Envoyé par -hellokitty- Voir le message
    Bonjour,
    Merci pour ta réponse

    on a pour tout x appartenant à R, f(x)+g(x)=exp(x)
    donc :
    f(-x)+g(-x)=exp(-x)
    (1) : f(x)-g(x)=exp(-x) comme f est paire et g impaire
    et (2) : f(x)+g(x)=exp(x)

    En faisant (1)*(2), on a : f(x)²-g(x)²=1, mais ensuite je ne sais pas quoi faire ...
    Essayez la somme plutôt que le produit.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Merci de ta réponse
    D'accord, donc on trouve : f(x)+g(x)=ch(x)+sh(x)=e^x ?

  9. Publicité
  10. #7
    Médiat

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    On trouve , c'est à dire
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Merci
    Oui j'avais trouvé ça aussi et g(x)=sh(x), mais comment trouver les antécédents de exp par h ensuite, je n'y arrive pas ...

  12. #9
    Médiat

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    A votre avis, que sont f et g par rapport à l'exponentielle ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    On a :
    f(x)=(e^x + e^-x) / 2
    et
    g(x)=(e^x - e^-x) / 2
    c'est ca ?

  14. #11
    -hellokitty-

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    J'ai trouvé pour la première question , pour la b j'ai prouvé qu'elle était bijective mais comment exprimer la bijection réciproque de h ?
    Je ne sais pas comment faire ...

  15. #12
    Médiat

    Re : sommes d'une fonction paire et d'une fonction paire

    Même technique qu'avec l'exponentielle
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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