Distance d'un point à un ensemble.

[inviteddcf7c73]

Bonjour à tous,

Voilà mon problème. On a (E,d) un espace métrique, et A une partie de E.
On a la distance dA(x) = d(x,A) = inf_{y appartient à A} d(x,y).
Je dois prouver qu'une telle distance est définie de E dans R+, puis montrer qu'elle est continue. Seulement l'espace (E,d) est
définit pour une distance quelconque, et j'arrive à prouver son existence qu'avec la norme :

Soit x appartient à E. On a {||x-a||, a appartient à A} qui est une partie non vide et minorée par 0 de R. Cette partie admet donc une borne inférieure dans R. D'où l'existence de la distance. Mais est-ce que cela marche pour
n'importe quelle distance ? Pour la continuité je peux me débrouiller mais je ne peux pas avancer tant que cette
question me taraude.

Par avance merci pour votre aide!
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[toothpick-charlie]

les d(x,a) eux aussi sont minorés par 0.

[inviteddcf7c73]

Super merci!

J'ai réussi à prouver qu'elle était continue en passant par la propriété des fonctions k-lipschitzienne. Mais mon professeur veut que l'on passe par la définition même de la continuité, il faut donc trouver un êta en fonction de epsilon qui fonctionne, mais je n'y arrive pas. Quelqu'un a une idée? J'arrive à
|dA(x) - dA(y)|<d(x,y), ce qui prouve qu'elle est Lipschitzienne d'ordre 1. Et la définition de la continuité dit :

d(x,y)<êta => d'(f(x),f(y))<epsilon, ça donnerait ici d(x,y)<êta => |dA(x) - dA(y)| < epsilon.