Distance d'un point à une droite

[invite63ad645b]

Bonjour,

Je cherche la démonstration de l'expression de la distance d'un point à une droite (dans un plan X-Y).

entre une droite D d’équation ax + by + c = 0 et un point M (X1, Y1)

Distance = |a.X1+b.Y1+c| / racine carrée de (a²+b²)

Est-ce que quelqu'un la connaît ?
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[NicoEnac]

Bonjour,

Un vecteur perpendiculaire immédiat de la droite d'équation ax+by+c=0 est le vecteur de coordonnées (a,b).
En effet, si P et N sont deux points de la droite alors :
a.x_P+b.y_P+c = 0
a.x_N+b.y_N+c = 0
En soustrayant les 2 lignes on obtient :
a.(x_P-x_N)+b.(y_P-y_N) = 0
soit exactement l'expression de
Maintenant que nous tenons un vecteur perpendiculaire, en quoi nous est-il utile pour la distance ?
Eh bien si je prends un point N quelconque sur la droite, la distance entre M et la droite est égale au projeté de ce vecteur sur .
Pour cela, utilisons le produit scalaire :

Le produit scalaire indique également la direction par le signe donc si on veut une longueur, on prend la valeur absolue.
On divise ensuite par la norme du vecteur (qui est ) et le tour est joué.

[invite63ad645b]

C'est excellent !
Merci pour la clarté de votre réponse