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Distance d'un point à une droite



  1. #1
    Bratschicolo

    Distance d'un point à une droite


    ------

    Bonjour,

    Je cherche la démonstration de l'expression de la distance d'un point à une droite (dans un plan X-Y).

    entre une droite D d’équation ax + by + c = 0 et un point M (X1, Y1)

    Distance = |a.X1+b.Y1+c| / racine carrée de (a2+b2)

    Est-ce que quelqu'un la connaît ?

    -----

  2. #2
    NicoEnac

    Re : Distance d'un point à une droite

    Bonjour,

    Un vecteur perpendiculaire immédiat de la droite d'équation ax+by+c=0 est le vecteur de coordonnées (a,b).
    En effet, si P et N sont deux points de la droite alors :
    a.xP+b.yP+c = 0
    a.xN+b.yN+c = 0
    En soustrayant les 2 lignes on obtient :
    a.(xP-xN)+b.(yP-yN) = 0
    soit exactement l'expression de
    Maintenant que nous tenons un vecteur perpendiculaire, en quoi nous est-il utile pour la distance ?
    Eh bien si je prends un point N quelconque sur la droite, la distance entre M et la droite est égale au projeté de ce vecteur sur .
    Pour cela, utilisons le produit scalaire :

    Le produit scalaire indique également la direction par le signe donc si on veut une longueur, on prend la valeur absolue.
    On divise ensuite par la norme du vecteur (qui est ) et le tour est joué.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  3. #3
    Bratschicolo

    Re : Distance d'un point à une droite

    C'est excellent !
    Merci pour la clarté de votre réponse

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